Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função sujeita a restrição dada:
.
Se
é o ponto crítico, o valor do máximo
é:
Resposta:
Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando os multiplicadores de Lagrange. A gente quer encontrar o valor máximo da função $ f(x, y) = 8x + 12y $ sujeita à restrição $ x^{2} + y^{2} = 13 $. Isso significa que estamos procurando o ponto
onde
atinge seu maior valor, mas só considerando os pontos que estão na circunferência de raio
. Para resolver isso, vamos precisar entender como os multiplicadores de Lagrange funcionam e como aplicar essa técnica para otimizar uma função com restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. A ideia aqui é combinar a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador (geralmente chamado de
). A função de Lagrange fica assim:
No nosso caso, $ f(x, y) = 8x + 12y $, $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} $ e $ c = 13 $. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos dessa função de Lagrange. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e igualar cada uma delas a zero.
Primeiro, a derivada em relação a
:
Depois, a derivada em relação a
:
E por último, a derivada em relação a
, que nos dá a própria restrição:
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para
:
Agora, substituímos $ y = \frac{3}{2}x $ na equação (3):
Então, temos dois valores para
: 2 e -2.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da função $ f(x, y) $ nos pontos encontrados.
Para
:
Para
:
Como estamos procurando o valor máximo, o maior valor é 52.
Resposta
O valor máximo de $ f\left(x_{0}, y_{0}\right) $ é 52.