Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função sujeita a restrição dada:
f(x, y)=8 x+12 y ; x^2+y^2=13.
Se é o ponto crítico, o valor do máximo é:
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando os multiplicadores de Lagrange. A gente quer encontrar o valor máximo da função $ f(x, y) = 8x + 12y $ sujeita à restrição $ x^{2} + y^{2} = 13 $. Isso significa que estamos procurando o ponto f(x, y) = 8x + 12y onde x^2 + y^2 = 13 atinge seu maior valor, mas só considerando os pontos que estão na circunferência de raio (x0, y0). Para resolver isso, vamos precisar entender como os multiplicadores de Lagrange funcionam e como aplicar essa técnica para otimizar uma função com restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. A ideia aqui é combinar a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador (geralmente chamado de lambda). A função de Lagrange fica assim:
L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (g(x, y) - c)
No nosso caso, $ f(x, y) = 8x + 12y $, $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} $ e $ c = 13 $. Então, substituindo na fórmula, temos:
f(x, y) = 8x + 12y

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos dessa função de Lagrange. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de L em relação a x, y e lambda, e igualar cada uma delas a zero.
Primeiro, a derivada em relação a x:
partial Lpartial x = 8 - 2lambda x = 0 Rightarrow 8 = 2lambda x Rightarrow 4 = lambda x
Depois, a derivada em relação a y:
partial Lpartial y = 12 - 2lambda y = 0 Rightarrow 12 = 2lambda y Rightarrow 6 = lambda y
E por último, a derivada em relação a lambda, que nos dá a própria restrição:
partial Lpartial lambda = -(x^2 + y^2 - 13) = 0 Rightarrow x^2 + y^2 = 13

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações:
4 = lambda x (1)
6 = lambda y (2)
x^2 + y^2 = 13 (3)
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação (1):
lambda = 4x
Da equação (2):
lambda = 6y
Igualando as duas expressões para lambda:
4x = 6y Rightarrow 4y = 6x Rightarrow y = 32x
Agora, substituímos $ y = \frac{3}{2}x $ na equação (3):
y = 32x
Então, temos dois valores para x^2 + (32x)^2 = 13 Rightarrow x^2 + 94x^2 = 13 Rightarrow 134x^2 = 13 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2 : 2 e -2.
Para x:
x = 2
Para y = 32 times 2 = 3 :
x = -2

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da função $ f(x, y) $ nos pontos encontrados.
Para f(x, y) :
(2, 3)
Para f(2, 3) = 8 times 2 + 12 times 3 = 16 + 36 = 52 :
(-2, -3)
Como estamos procurando o valor máximo, o maior valor é 52.

Resposta

O valor máximo de $ f\left(x_{0}, y_{0}\right) $ é 52.

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