Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de F através de S, em que:
F(x, y, z)=(x^3, y^3, z^3); S é a superfície do sólido W limitado pelo hemisfério norte da esfera x^2+y^2+z^2=R^2 e pelo o plano x O y.

Passo 1

O problema pede o fluxo de vec F(x,y,z)=(x^3,y^3,z^3) pela superfície S que é a fronteira do sólido W definido pelo hemisfério norte x^2+y^2+z^2=R^2, z>=0 e pelo disco no plano z=0. O conteúdo principal é o Teorema do Divergente, e vamos precisar calcular a divergência de vec F e depois fazer a integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 2

Calcular a divergência de vec F. Pela definição div,vec F=partialpartial x(x^3)+partialpartial y(y^3)+partialpartial z(z^3), obtemos
div,vec F=3x^2+3y^2+3z^2=3(x^2+y^2+z^2)

Passo 3

Aplicar o Teorema do Divergente: o fluxo pela superfície S é
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral triplaWdiv,vec F,dV=3integral triplaW(x^2+y^2+z^2),dV

Passo 4

Usar coordenadas esféricas para aproveitar a simetria: definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
com 0<=rho<= R, 0<=phi<=tfracpi2 e 0<=theta<=2pi. O elemento de volume é dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta, e x^2+y^2+z^2=rho^2. Assim o integrando fica 3rho^2cdotrho^2sinphi=3rho^4sinphi.

Passo 5

Calcular a integral separada em cada variável:
integral duplaSvec Fcdot dvec S =3integraltheta=0^2pi!dtheta integralphi=0^pi/2!sinphi,dphi integralrho=0^R!rho^4,drho
Fazendo as integrais:
integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pi/2sinphi,dphi=1, integral0^Rrho^4,drho=R^55
Multiplicando tudo:
3times2pitimes1timesR^55=6pi R^55

Resposta

6pi R^55

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