Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de
através de
, em que:
;
é a superfície do sólido
limitado pelo hemisfério norte da esfera
e pelo o plano
.
Passo 1
O problema pede o fluxo de
pela superfície
que é a fronteira do sólido
definido pelo hemisfério norte
e pelo disco no plano
. O conteúdo principal é o Teorema do Divergente, e vamos precisar calcular a divergência de
e depois fazer a integral tripla em coordenadas esféricas.
Passo 2
Calcular a divergência de
. Pela definição
, obtemos
Passo 3
Aplicar o Teorema do Divergente: o fluxo pela superfície
é
Passo 4
Usar coordenadas esféricas para aproveitar a simetria: definimos
com
,
e
. O elemento de volume é
, e
. Assim o integrando fica
.
Passo 5
Calcular a integral separada em cada variável:
Fazendo as integrais:
Multiplicando tudo: