(2019/2 - extra) Determine a área do toro parametrizado por
sigma(u, v)=(cos u(R+r cos v), sen u(R+r cos v), r sen v)
em que R>r são números reais positivos.

Passo 1

A questão pede para determinar a área da superfície do toro dado pelo parâmetro sigma(u,v)=(cos u(R+rcos v),;sin u(R+rcos v),;rsin v) com u,vin[0,2pi] e R>r>0. O conteúdo é área de superfície paramétrica, e para resolver vamos precisar calcular as derivadas parciais de sigma, o produto vetorial entre elas e depois integrar a norma desse produto sobre o domínio.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada parcial de sigma em relação a u. Como R+rcos v é tratado como constante em relação a u, temos:
partialsigmapartial u(u,v)=(-sin u,(R+rcos v),;cos u,(R+rcos v),;0)

Passo 3

Agora, calculamos a derivada parcial de sigma em relação a v. Aqui R+rcos v depende de v e o terceiro componente também muda:
partialsigmapartial v(u,v)=(-rsin v,cos u,;-rsin v,sin u,;rcos v)

Passo 4

Em seguida, aplicamos o produto vetorial para obter o vetor normal e, em seguida, sua magnitude. Sejam a=partialusigma e b=partialvsigma. O módulo de atimesb dá o elemento de área:
l|atimesbr| = r,(R + rcos v)
Esse resultado vem de calcular o determinante dos componentes e usar cos^2v+sin^2v=1.

Passo 5

Por fim, montamos a integral dupla da área sobre [0,2pi]times[0,2pi]:
A = integral0^2piintegral0^2pi r,(R + rcos v),du,dv
Como a função não depende de u, integramos primeiro em u:
integral0^2pidu = 2pi,
e depois em v:
integral0^2pi(R + rcos v),dv = 2pi R + r[sin v]0^2pi = 2pi R
Multiplicando tudo, obtemos a área.

Passo 6

A área total do toro é dada por
A = (2pi) cdot r cdot (2pi R) = 4pi^2 R r

Resposta

4pi^2 R r

Exercícios relacionados