(2019/2 - extra) Determine a área do toro parametrizado por
em que são números reais positivos.
Passo 1
A questão pede para determinar a área da superfície do toro dado pelo parâmetro com e . O conteúdo é área de superfície paramétrica, e para resolver vamos precisar calcular as derivadas parciais de , o produto vetorial entre elas e depois integrar a norma desse produto sobre o domínio.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a . Como é tratado como constante em relação a , temos:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a . Aqui depende de e o terceiro componente também muda:
Passo 4
Em seguida, aplicamos o produto vetorial para obter o vetor normal e, em seguida, sua magnitude. Sejam e . O módulo de dá o elemento de área:
Esse resultado vem de calcular o determinante dos componentes e usar cos^2v+sin^2v=1.
Passo 5
Por fim, montamos a integral dupla da área sobre [0,2pi]times[0,2pi]:
A = integral0^2piintegral0^2pi r,(R + rcos v),du,dv
Como a função não depende de u, integramos primeiro em u:
integral0^2pidu = 2pi,
e depois em v:
integral0^2pi(R + rcos v),dv = 2pi R + r[sin v]0^2pi = 2pi R