(1 / 2019) Seja F(x, y, z)=(x^4, e^x^2 cos z+2019,4 x y^2 z). Determine
integralegral duplaS F d S
em que S é a superfície do sólido E que está no primeiro octante limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos x=0, y=0, z=0 e z=2 (orientada para fora).

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaS vec Fcdot dvec S onde vec F(x,y,z)=(x^4,,e^x^2cos z+2019,,4x y^2 z) e S é a superfície orientada para fora do sólido E no primeiro octante limitado por x^2+y^2=1 e pelos planos x=0,y=0,z=0,z=2. Vamos usar o Teorema da Divergência para converter em integral tripla.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência temos integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral triplaEnablacdotvec F,dV Calculamos primeiro a divergência:
Calculando cada derivada,
nablacdotvec F=partialpartial x(x^4)+partialpartial y(e^x^2cos z+2019)+partialpartial z(4x y^2 z)=4x^3+0+4x y^2=4l(x^3+x y^2r)

Passo 3

Então a integral fica
integral triplaE4(x^3+x y^2),dV=4integral triplaE x(x^2+y^2),dV

Passo 4

Usando coordenadas cilíndricas x=rcostheta,;y=rsintheta,;z=z, com 0<= r<=1, 0<=theta<=pi/2, 0<= z<=2, e dV=r,dr,dtheta,dz, temos
x^2+y^2=r^2, x=rcostheta,
logo o integrando é
$$4,x(x2+y2)=4r^3\cos\theta
\quade\quad dV=r,dr,d\theta,dz\implies4r^4\cos\theta,dr,d\theta,dz.$$

Passo 5

Agora integramos separadamente:
integralz=0^2dz=2, integraltheta=0^pi/2costheta,dtheta=1, integralr=0^1r^4,dr=15

Passo 6

Multiplicando tudo:
4times2times1times15=85

Resposta

85

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