(1 / 2019) Seja
. Determine
em que
é a superfície do sólido
que está no primeiro octante limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
(orientada para fora).
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a superfície orientada para fora do sólido
no primeiro octante limitado por
e pelos planos
. Vamos usar o Teorema da Divergência para converter em integral tripla.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência temos
Calculamos primeiro a divergência:
Calculando cada derivada,
Calculando cada derivada,
Passo 3
Então a integral fica
Passo 4
Usando coordenadas cilíndricas
, com
,
,
, e
, temos
logo o integrando é
$$4,x(x2+y2)=4r^3\cos\theta
\quade\quad dV=r,dr,d\theta,dz\implies4r^4\cos\theta,dr,d\theta,dz.$$
Passo 5
Agora integramos separadamente:
Passo 6
Multiplicando tudo: