Em 2019, na temporada da NBA, James Harden, atleta do Rockets, teve a maior pontuação dentre todos os atletas da liga e marcou
dos seus arremessos. Suponha que você escolha uma amostra aleatória de 80 arremessos feitas por James Harden durante a temporada de 2019.
Seja
o número de arremessos que marcaram pontos.
(a) Qual é a distribuição de probabilidade para
?
(b) Usando as fórmulas, calcule a média e o desvio-padrão de
.
© Encontre a probabilidade de James Harden ter marcado 45 desses arremessos.
(d) Encontre a probabilidade de James Harden ter marcado mais de 40 desses arremessos.
Seja
(a) Qual é a distribuição de probabilidade para
(b) Usando as fórmulas, calcule a média e o desvio-padrão de
© Encontre a probabilidade de James Harden ter marcado 45 desses arremessos.
(d) Encontre a probabilidade de James Harden ter marcado mais de 40 desses arremessos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, especificamente sobre distribuição binomial. A situação é a seguinte: em 2019, James Harden, jogador do Rockets na NBA, fez 44,4% dos seus arremessos. A gente vai analisar uma amostra aleatória de 80 arremessos feitos por ele durante essa temporada. Queremos saber coisas como a distribuição de probabilidade, média, desvio-padrão e algumas probabilidades específicas relacionadas a quantos pontos ele marcou.
Passo 2
(a) Qual é a distribuição de probabilidade para $ X $?
Aqui, $ X $ representa o número de arremessos que Harden marcou pontos em uma amostra de 80 arremessos. Como cada arremesso tem apenas dois resultados possíveis (marca ou não marca) e a probabilidade de sucesso (marcar) é constante em 44,4%, usamos a distribuição binomial.
A distribuição binomial é adequada quando temos:
- Número fixo de tentativas ($ n = 80 $)
- Dois resultados possíveis em cada tentativa (sucesso ou fracasso)
- Probabilidade constante de sucesso ($ p = 0,444 $)
- Tentativas independentes
Então, $ X $ segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 80 $ e $ p = 0,444 $, ou seja:
Passo 3
(b) Usando as fórmulas, calcule a média e o desvio-padrão de $ X $.
Para uma distribuição binomial, a média ($ \mu
\sigma $) são calculados assim:
-
Média ($ \mu $):
-
Desvio-padrão ($ \sigma $):
Vamos calcular:
Primeiro, calculamos $ 1 - p $:
Agora:
Então, a média é 35,52 e o desvio-padrão é aproximadamente 4,44.
Passo 4
© Encontre a probabilidade de James Harden ter marcado 45 desses arremessos.
Aqui queremos $ P(X = 45) $. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade da distribuição binomial:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial (“n escolhe k”)
- $ p = 0,444 $
- $ k = 45 $
- $ n = 80 $
Então:
Calcular isso manualmente é bem trabalhoso, então normalmente usamos calculadoras ou softwares estatísticos. Mas a ideia é multiplicar o número de combinações possíveis para 45 acertos em 80 tentativas pela probabilidade de cada combinação específica acontecer.
Passo 5
(d) Encontre a probabilidade de James Harden ter marcado mais de 40 desses arremessos.
Aqui queremos $ P(X > 40) $, que é a soma das probabilidades de ele ter marcado 41, 42, …, até 80 arremessos. Matematicamente:
Usando a mesma fórmula da distribuição binomial para cada $ k $ nessa soma:
Novamente, esse cálculo é complexo para fazer à mão, então é prático utilizar ferramentas computacionais ou tabelas específicas para distribuição binomial.
Resposta
(a) A distribuição de $ X $ é binomial com $ n = 80 $ e $ p = 0,444 $, ou seja, $ X \sim Binomial(80, 0,444) $.
(b) A média de $ X $ é 35,52 e o desvio-padrão é aproximadamente 4,44.
© A probabilidade de James Harden ter marcado exatamente 45 arremessos é $ P(X = 45) $ calculada pela fórmula binomial.
(d) A probabilidade de James Harden ter marcado mais de 40 arremessos é $ P(X > 40) $, obtida somando-se as probabilidades de marcar 41 a 80 arremessos.