Em 2019, na temporada da NBA, James Harden, atleta do Rockets, teve a maior pontuação dentre todos os atletas da liga e marcou 44,4 % dos seus arremessos. Suponha que você escolha uma amostra aleatória de 80 arremessos feitas por James Harden durante a temporada de 2019.
Seja X= o número de arremessos que marcaram pontos.
(a) Qual é a distribuição de probabilidade para X ?
(b) Usando as fórmulas, calcule a média e o desvio-padrão de X.
© Encontre a probabilidade de James Harden ter marcado 45 desses arremessos.
(d) Encontre a probabilidade de James Harden ter marcado mais de 40 desses arremessos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, especificamente sobre distribuição binomial. A situação é a seguinte: em 2019, James Harden, jogador do Rockets na NBA, fez 44,4% dos seus arremessos. A gente vai analisar uma amostra aleatória de 80 arremessos feitos por ele durante essa temporada. Queremos saber coisas como a distribuição de probabilidade, média, desvio-padrão e algumas probabilidades específicas relacionadas a quantos pontos ele marcou.

Passo 2

(a) Qual é a distribuição de probabilidade para $ X $?
Aqui, $ X $ representa o número de arremessos que Harden marcou pontos em uma amostra de 80 arremessos. Como cada arremesso tem apenas dois resultados possíveis (marca ou não marca) e a probabilidade de sucesso (marcar) é constante em 44,4%, usamos a distribuição binomial.
A distribuição binomial é adequada quando temos:
  • Número fixo de tentativas ($ n = 80 $)
  • Dois resultados possíveis em cada tentativa (sucesso ou fracasso)
  • Probabilidade constante de sucesso ($ p = 0,444 $)
  • Tentativas independentes
Então, $ X $ segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n = 80 $ e $ p = 0,444 $, ou seja:
X

Passo 3

(b) Usando as fórmulas, calcule a média e o desvio-padrão de $ X $.
Para uma distribuição binomial, a média ($ \mu X ã \sigma $) são calculados assim:
  • Média ($ \mu $):
    mu
  • Desvio-padrão ($ \sigma $):
    sigma
Vamos calcular:
mu
mu = n times p
Primeiro, calculamos $ 1 - p $:
sigma
Agora:
sigma = raizn times p times (1 - p)
mu = 80 times 0,444 = 35,52
sigma = raiz80 times 0,444 times (1 - 0,444)
1 - p
Então, a média é 35,52 e o desvio-padrão é aproximadamente 4,44.

Passo 4

© Encontre a probabilidade de James Harden ter marcado 45 desses arremessos.
Aqui queremos $ P(X = 45) $. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade da distribuição binomial:
P(X = 45)
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial (“n escolhe k”)
  • $ p = 0,444 $
  • $ k = 45 $
  • $ n = 80 $
Então:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Calcular isso manualmente é bem trabalhoso, então normalmente usamos calculadoras ou softwares estatísticos. Mas a ideia é multiplicar o número de combinações possíveis para 45 acertos em 80 tentativas pela probabilidade de cada combinação específica acontecer.

Passo 5

(d) Encontre a probabilidade de James Harden ter marcado mais de 40 desses arremessos.
Aqui queremos $ P(X > 40) $, que é a soma das probabilidades de ele ter marcado 41, 42, …, até 80 arremessos. Matematicamente:
P(X > 40)
Usando a mesma fórmula da distribuição binomial para cada $ k $ nessa soma:
P(X > 40) = sumk=41^80 P(X = k)
Novamente, esse cálculo é complexo para fazer à mão, então é prático utilizar ferramentas computacionais ou tabelas específicas para distribuição binomial.

Resposta

(a) A distribuição de $ X $ é binomial com $ n = 80 $ e $ p = 0,444 $, ou seja, $ X \sim Binomial(80, 0,444) $.
(b) A média de $ X $ é 35,52 e o desvio-padrão é aproximadamente 4,44.
© A probabilidade de James Harden ter marcado exatamente 45 arremessos é $ P(X = 45) $ calculada pela fórmula binomial.
(d) A probabilidade de James Harden ter marcado mais de 40 arremessos é $ P(X > 40) $, obtida somando-se as probabilidades de marcar 41 a 80 arremessos.

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