Considere a variável aleatória X que assume os valores 0,1,2,3,4 e 5. A função de probabilidade de X é dada por:
  • P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=a
  • P(X=4)=P(X=5)=b
  • P(X >= 2)=3 P(X<2)
    Julgue as afirmações:
    I. Para que a função de probabilidade seja válida, deve-se ter a=1 / 4 e b=1 / 8.
    II. O valor esperado de X é E(X)=4.
    III. A variância de X é Var(X)=12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A função de probabilidade está definida por $ P(X=0) = P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = a $ e $ P(X=4) = P(X=5) = b $. Além disso, sabemos que $ P(X \geq 2) = 3 , P(X < 2) $. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade básica e cálculo de expectativa e variância para resolver as afirmações.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função de probabilidade seja válida. Para isso, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Assim, temos:
4a + 2b = 1

Passo 3

Agora, vamos usar a condição $ P(X \geq 2) = 3 , P(X < 2) $. Calculando cada parte:
P(X >= 2) = 3 , P(X < 2)
P(X >= 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 2a + 2b
P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1) = 2a

Passo 4

Substituindo $ b = 2a $ na equação $ 4a + 2b = 1 $:
b = 2a
4a + 2b = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor esperado $ \mathrm{E}(X) $:
E(X)
E(X) = 0 times a + 1 times a + 2 times a + 3 times a + 4 times b + 5 times b
E(X) = 0 + 18 + 28 + 38 + 4 times 14 + 5 times 14

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância $ \operatorname{Var}(X) $. Primeiro, calculamos $ \mathrm{E}(X^2) $:
Var(X)
E(X^2)
E(X^2) = 0^2 times a + 1^2 times a + 2^2 times a + 3^2 times a + 4^2 times b + 5^2 times b
E(X^2) = 0 + 18 + 48 + 98 + 16 times 14 + 25 times 14

Resposta

Todas as afirmações são falsas:
I. Falso;
II. Falso;
III. Falso.

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