(1/2019) Verifique o Teorema de Stokes para o campo vetorial
, a superfície
sendo a parte do paraboloide
, com
com orientação para cima e
é a fronteira de
orientada positivamente (olhada de cima). (Se achar mais conveniente escolher outra superfície que tenha fronteira
, também está valendo).
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo
, onde a superfície
é o pedaço de paraboloide
com
e orientação pra cima, e
é o círculo
orientado positivamente (sentido anti-horário visto de cima).
O Teorema de Stokes afirma que
O Teorema de Stokes afirma que
Vamos começar calculando o rotor de
.
Passo 2
Aplicando a definição
, obtemos:
Passo 3
Para a integral de superfície usamos a parametrização como gráfico
. O vetor normal orientado pra cima vem de
. Assim
A região projetada
é o disco
, então
Passo 4
Para conferir, calculamos a integral de linha em
: parametrize
,
. Então
O produto escalar é
e
Passo 5
Como ambas as integrais deram
, confirmamos o Teorema de Stokes para esse caso.