(1/2019) Verifique o Teorema de Stokes para o campo vetorial F(x, y, z)=(y^2, x, z^2), a superfície S sendo a parte do paraboloide z=x^2+y^2, com z <= 1 com orientação para cima e C é a fronteira de S orientada positivamente (olhada de cima). (Se achar mais conveniente escolher outra superfície que tenha fronteira C, também está valendo).

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo vec F(x,y,z)=(y^2,x,z^2), onde a superfície S é o pedaço de paraboloide z=x^2+y^2 com z<=1 e orientação pra cima, e C=partial S é o círculo x^2+y^2=1,z=1 orientado positivamente (sentido anti-horário visto de cima).
O Teorema de Stokes afirma que
integral duplaS (nablatimesvec F)cdot n,dS = ointC vec Fcdot d r
Vamos começar calculando o rotor de vec F.

Passo 2

Aplicando a definição nablatimesvec F=(partialy Fz-partialz Fy,partialz Fx-partialx Fz,partialx Fy-partialy Fx), obtemos:
nablatimesvec F=(0,0,1-2y)

Passo 3

Para a integral de superfície usamos a parametrização como gráfico z=f(x,y)=x^2+y^2. O vetor normal orientado pra cima vem de d S=(-fx,-fy,1),dA=(-2x,-2y,1),dA. Assim
(nablatimesvec F)cdot d S=(0,0,1-2y)cdot(-2x,-2y,1),dA=(1-2y),dA
A região projetada D é o disco x^2+y^2<=1, então
integral duplaS(nablatimesvec F)cdot n,dS =integral duplaD(1-2y),dA =integral duplaD1,dA-2integral duplaDy,dA =pi-2cdot0 =pi

Passo 4

Para conferir, calculamos a integral de linha em C: parametrize x=cos t,,y=sin t,,z=1, tin[0,2pi]. Então
vec F=(sin^2t,cos t,1), ;d r=(-sin t,cos t,0),dt
O produto escalar é
vec Fcdot d r=-sin^3t+cos^2t,
e
ointCvec Fcdot d r=integral0^2pi(-sin^3t+cos^2t),dt =0+integral0^2picos^2t,dt=pi

Passo 5

Como ambas as integrais deram pi, confirmamos o Teorema de Stokes para esse caso.

Resposta

pi

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