(B2-2022). Existe algum erro nas seguintes implicações? Onde?
\begin{gathered} x=1 \\\ \Rightarrow(x-1)^{2}=0 \\\ \Rightarrow x^{2}-2 x+1= \\\ \Rightarrow x^{2}-2+1=0 \\\ \Rightarrow x^{2}-1=0 \\\ \Rightarrow(x-1)(x+1)=0 \\\ \Rightarrow x=1 \text { ou } x=-1 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado mostra uma cadeia de implicações e pergunta se há algum erro e onde. As linhas dadas são (copiadas do enunciado):
x=1
\Rightarrow (x-1)^{2}=0
\Rightarrow x^{2}-2x+1=
\Rightarrow x^{2}-2+1=0
\Rightarrow x^{2}-1=0
\Rightarrow (x-1)(x+1)=0
\Rightarrow x=1\\ \text{ou}\\ x=-1
O que se pede: verificar se alguma das implicações é errada e apontar exatamente onde está o erro.

Passo 2

Primeira observação técnica: a partir de x=1 é correto afirmar (x-1)^{2}=0, porque substituindo x=1 obtemos (1-1)^{2}=0. Também é correto expandir (x-1)^{2} como um polinômio. A fórmula de desenvolvimento que vamos usar é a identidade
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},
onde cada símbolo tem o significado óbvio: a e b são números (ou variáveis), o produto ab é a multiplicação e os expoentes indicam quadrado.

Passo 3

Aplicando a identidade com a=x e b=1 obtemos a expansão válida:
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
Como já tínhamos (x-1)^{2}=0, a forma completa e correta dessa etapa é
x^{2}-2x+1=0.

Passo 4

Agora examine a passagem seguinte da cadeia: ela afirma
x^{2}-2x+1 \\ \Rightarrow\\ x^{2}-2+1=0.
Essa linha é a suspeita: comparando os dois lados vê-se que o termo -2x foi substituído por -2. Essa substituição só seria legítima se tivéssemos imposto x=1 e substituído em todos os termos ao mesmo tempo; mas a transformação como escrita é uma alteração algébrica inválida se tratamos a expressão como uma equação em x. Em outras palavras, trocar -2x por -2 equivale a afirmar que x=1 dentro da equação, e então manter x livre em x^{2} (ou seja, não substituir x em x^{2}) é inconsistente.

Passo 5

Explicar por que isso é proibido com uma regra geral: operações que preservam equivalência de equações são, por exemplo, adicionar o mesmo número aos dois lados, multiplicar os dois lados por um mesmo número diferente de zero, substituir por uma identidade verdadeira etc. O que NÃO é permitido é cancelar um fator que pode valer zero (dividir por uma expressão que pode ser zero) sem atenção — isso pode criar ou eliminar soluções. Por exemplo, dividir ambos os lados por x-1 quando de fato x-1=0 (caso x=1) é divisão por zero e não é permitida.

Passo 6

Mostrar a solução correta sem a etapa inválida: a equação correta é
x^{2}-2x+1=0,
que fatoriza como
(x-1)^{2}=0.
Dessa fatoração decorre imediatamente que
x-1=0,
logo a única solução é
x=1.
Portanto, a dedução correta a partir de (x-1)^{2}=0 produz apenas x=1 (com multiplicidade 2), não gera x=-1.

Passo 7

Mostrar o que ocorre se alguém faz a manipulação errada: ao trocar -2x por -2 obteve-se x^{2}-1=0, que se factoriza em (x-1)(x+1)=0 e dá as soluções x=1 e x=-1. A raiz x=-1 é uma solução falsa (extrínseca) introduzida pela manipulação inválida. Verificação:
\text{Para }x=-1:\qquad (x-1)^{2}=(-1-1)^{2}=(-2)^{2}=4\neq 0,
logo x=-1 não satisfaz a equação original. Isso confirma que a passagem que criou x^{2}-1=0 é incorreta.

Passo 8

Resumo didático do cerne do erro:
  • A falha está na etapa que substitui -2x por -2 sem justificativa algebraica; essa alteração não preserva equivalência da equação.
  • Alternativamente, pensa-se frequentemente que o erro é "cancelar x-1" ou "dividir por x-1" quando x-1=0; dividir por uma expressão que pode ser zero é proibido e é justamente o que gera raízes extranhas. Aqui, a manipulação feita é do mesmo tipo de ilegalidade: tratou-se x como se fosse um número fixo em um termo e livre noutro, o que é inconsistente.

Passo 9

Conselho prático para a prova (claro e amigo): sempre que for fazer uma simplificação que envolve dividir por uma expressão com x, pergunte-se se essa expressão pode ser zero. Se puder, não divida sem tratar esse caso separadamente. Se estiver desenvolvendo a partir de uma hipótese numérica (por exemplo, x=1 já assumido), então não tente manipular a equação como se x fosse variável para encontrar outras raízes — você já fixou o valor.

Resposta

Sim. O erro está na passagem de x^{2}-2x+1= para x^{2}-2+1=0: o termo -2x foi indevidamente substituído por -2. A solução correta é x=1.

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