(B2-2022). Existe algum erro nas seguintes implicações? Onde?
Passo 1
O enunciado mostra uma cadeia de implicações e pergunta se há algum erro e onde. As linhas dadas são (copiadas do enunciado):
O que se pede: verificar se alguma das implicações é errada e apontar exatamente onde está o erro.
Passo 2
Primeira observação técnica: a partir de
é correto afirmar
, porque substituindo
obtemos
. Também é correto expandir
como um polinômio. A fórmula de desenvolvimento que vamos usar é a identidade
onde cada símbolo tem o significado óbvio:
e
são números (ou variáveis), o produto
é a multiplicação e os expoentes indicam quadrado.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
obtemos a expansão válida:
Como já tínhamos
, a forma completa e correta dessa etapa é
Passo 4
Agora examine a passagem seguinte da cadeia: ela afirma
Essa linha é a suspeita: comparando os dois lados vê-se que o termo
foi substituído por
. Essa substituição só seria legítima se tivéssemos imposto
e substituído em todos os termos ao mesmo tempo; mas a transformação como escrita é uma alteração algébrica inválida se tratamos a expressão como uma equação em
. Em outras palavras, trocar
por
equivale a afirmar que
dentro da equação, e então manter
livre em
(ou seja, não substituir
em
) é inconsistente.
Passo 5
Explicar por que isso é proibido com uma regra geral: operações que preservam equivalência de equações são, por exemplo, adicionar o mesmo número aos dois lados, multiplicar os dois lados por um mesmo número diferente de zero, substituir por uma identidade verdadeira etc. O que NÃO é permitido é cancelar um fator que pode valer zero (dividir por uma expressão que pode ser zero) sem atenção — isso pode criar ou eliminar soluções. Por exemplo, dividir ambos os lados por
quando de fato
(caso
) é divisão por zero e não é permitida.
Passo 6
Mostrar a solução correta sem a etapa inválida: a equação correta é
que fatoriza como
Dessa fatoração decorre imediatamente que
logo a única solução é
Portanto, a dedução correta a partir de
produz apenas
(com multiplicidade 2), não gera
.
Passo 7
Mostrar o que ocorre se alguém faz a manipulação errada: ao trocar
por
obteve-se
, que se factoriza em
e dá as soluções
e
. A raiz
é uma solução falsa (extrínseca) introduzida pela manipulação inválida. Verificação:
logo
não satisfaz a equação original. Isso confirma que a passagem que criou
é incorreta.
Passo 8
Resumo didático do cerne do erro:
- A falha está na etapa que substitui
por sem justificativa algebraica; essa alteração não preserva equivalência da equação. - Alternativamente, pensa-se frequentemente que o erro é "cancelar
" ou "dividir por " quando ; dividir por uma expressão que pode ser zero é proibido e é justamente o que gera raízes extranhas. Aqui, a manipulação feita é do mesmo tipo de ilegalidade: tratou-se como se fosse um número fixo em um termo e livre noutro, o que é inconsistente.
Passo 9
Conselho prático para a prova (claro e amigo): sempre que for fazer uma simplificação que envolve dividir por uma expressão com
, pergunte-se se essa expressão pode ser zero. Se puder, não divida sem tratar esse caso separadamente. Se estiver desenvolvendo a partir de uma hipótese numérica (por exemplo,
já assumido), então não tente manipular a equação como se
fosse variável para encontrar outras raízes — você já fixou o valor.
Resposta
Sim. O erro está na passagem de
para
: o termo
foi indevidamente substituído por
. A solução correta é
.