(B2-2021). Mostre que
se, e somente se,
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para provar uma equivalência: mostrar que, para quaisquer reais
,
se, e somente se, ou bem
ou bem
.
Informações dadas:
-
são números reais arbitrários. - A igualdade envolve valor absoluto e distâncias na reta real:
é a distância entre e .
O que precisamos provar:
- Direção “se”: mostrar que se
ou então a igualdade vale. - Direção “somente se”: mostrar que se a igualdade vale então necessariamente
está entre e (ou seja, uma das duas ordenações dadas ocorre).
Passo 2
Pequena revisão útil e intuitiva sobre valor absoluto e desigualdade triangular (tudo para usar sem assumir conhecimento prévio).
Definição e interpretação:
- Para um real
, é a distância de até . Em particular, para quaisquer reais , é a distância entre e .
Desigualdade triangular (caso simples que usaremos):
- Para quaisquer reais
vale
Aplicando com
e
obtém-se sempre (para quaisquer
)
Isto diz que
é sempre menor ou igual à soma
. No nosso problema estamos interessados no caso de igualdade nessa desigualdade triangular.
Observação sobre quando ocorre igualdade: para números reais, a desigualdade triangular vira igualdade exatamente quando
e
têm o mesmo sinal (ou um deles é zero). Aqui isso significa que os incrementos
e
não se opõem — geometricamente,
está entre
e
. Vamos demonstrar isso com casos no passo da “somente se”.
Passo 3
Primeiro mostro que se
então a igualdade vale.
Se
então
e
, e calculamos as distâncias sem valor absoluto complicado:
Somando os dois últimos:
Portanto, quando
a igualdade é verdadeira.
Agora o caso simétrico
: trocando os papéis de
e
o mesmo cálculo dá
ou seja, novamente a soma das duas distâncias é exatamente a distância entre
e
. Logo se
a igualdade também vale.
Assim provamos a direção “se”: as duas ordenações implicam a igualdade.
Passo 4
Agora suponha que
Queremos provar que
está entre
e
, isto é, que
ou
.
A igualdade é simétrica em
e
(trocar
por
não altera a afirmação), por isso podemos assumir, sem perda de generalidade, que
(Isto apenas organiza os casos; se na realidade
o argumento abaixo se aplica trocando
e
.)
Com
temos
. Considere agora as três possibilidades para a posição de
em relação a
e
.
Caso A:
.
Aqui e
. Então
Aqui
Comparando com
, a diferença é
porque
neste caso. A diferença é zero exatamente quando
, ou seja, quando
. Portanto, no caso
a igualdade
só ocorre se
, o que é compatível com dizer que
está entre
e
(inclusive nas extremidades).
Caso B:
.
Aqui e
. Soma:
Aqui
Portanto neste caso a igualdade sempre ocorre. Isso é exatamente a situação desejada:
entre
e
.
Caso C:
.
Aqui e
. Soma:
Aqui
Comparando com
, a diferença é
porque
neste caso. A diferença é zero exatamente quando
, ou seja,
. Mais uma vez, a igualdade só pode ocorrer se
coincide com uma das extremidades (aqui
), o que também significa que
está entre
e
.
Juntando os três casos, quando assumimos
vemos que a igualdade
só pode ocorrer se
satisfaz
(incluindo os casos limites
ou
). Voltando ao caso geral (sem a hipótese
), pela simetria esta conclusão dá exatamente as duas possibilidades:
Passo 5
Portanto mostramos tanto a implicação direta (ordenação implica igualdade) quanto a recíproca (igualdade implica que
está entre
e
). Assim a equivalência pedida está provada.