(B2-2021). Mostre que |x-z|=|x-y|+|y-z| se, e somente se, x \leq y \leq z ou z \leq y \leq x.

Passo 1

O enunciado pede para provar uma equivalência: mostrar que, para quaisquer reais x,y,z,
|x-z| = |x-y| + |y-z|
se, e somente se, ou bem x \leq y \leq z ou bem z \leq y \leq x.
Informações dadas:
  • x,y,z são números reais arbitrários.
  • A igualdade envolve valor absoluto e distâncias na reta real: |a-b| é a distância entre a e b.
O que precisamos provar:
  • Direção “se”: mostrar que se x \le y \le z ou z \le y \le x então a igualdade vale.
  • Direção “somente se”: mostrar que se a igualdade vale então necessariamente y está entre x e z (ou seja, uma das duas ordenações dadas ocorre).

Passo 2

Pequena revisão útil e intuitiva sobre valor absoluto e desigualdade triangular (tudo para usar sem assumir conhecimento prévio).
Definição e interpretação:
  • Para um real t, |t| é a distância de t até 0. Em particular, para quaisquer reais u,v, |u-v| é a distância entre u e v.
Desigualdade triangular (caso simples que usaremos):
  • Para quaisquer reais a,b vale
|a+b| \le |a| + |b|.
Aplicando com a = x-y e b = y-z obtém-se sempre (para quaisquer x,y,z)
|x-z| = |(x-y)+(y-z)| \le |x-y| + |y-z|.
Isto diz que |x-z| é sempre menor ou igual à soma |x-y|+|y-z|. No nosso problema estamos interessados no caso de igualdade nessa desigualdade triangular.
Observação sobre quando ocorre igualdade: para números reais, a desigualdade triangular vira igualdade exatamente quando a e b têm o mesmo sinal (ou um deles é zero). Aqui isso significa que os incrementos x-y e y-z não se opõem — geometricamente, y está entre x e z. Vamos demonstrar isso com casos no passo da “somente se”.

Passo 3

Primeiro mostro que se x \le y \le z então a igualdade vale.
Se x \le y \le z então x-z \le 0 e z-x \ge 0, e calculamos as distâncias sem valor absoluto complicado:
|x-z| = z-x, \qquad |x-y| = y-x, \qquad |y-z| = z-y.
Somando os dois últimos:
|x-y| + |y-z| = (y-x) + (z-y) = z-x = |x-z|.
Portanto, quando x \le y \le z a igualdade é verdadeira.
Agora o caso simétrico z \le y \le x: trocando os papéis de x e z o mesmo cálculo dá
|x-z| = x-z\\ (\text{com sinal apropriado})\quad\text{e}\quad |x-y|+|y-z|=(x-y)+(y-z)=x-z,
ou seja, novamente a soma das duas distâncias é exatamente a distância entre x e z. Logo se z \le y \le x a igualdade também vale.
Assim provamos a direção “se”: as duas ordenações implicam a igualdade.

Passo 4

Agora suponha que
|x-z| = |x-y| + |y-z|.
Queremos provar que y está entre x e z, isto é, que x \le y \le z ou z \le y \le x.
A igualdade é simétrica em x e z (trocar x por z não altera a afirmação), por isso podemos assumir, sem perda de generalidade, que
x \le z.
(Isto apenas organiza os casos; se na realidade z<x o argumento abaixo se aplica trocando x e z.)
Com x \le z temos |x-z| = z-x. Considere agora as três possibilidades para a posição de y em relação a x e z.
Caso A: y \le x \le z.
Aqui |x-y| = x-y e |y-z| = z-y. Então
|x-y| + |y-z| = (x-y) + (z-y) = x+z - 2y.
Comparando com |x-z| = z-x, a diferença é
(|x-y|+|y-z|) - |x-z| = (x+z-2y) - (z-x) = 2(x-y) \ge 0,
porque x-y \ge 0 neste caso. A diferença é zero exatamente quando x-y=0, ou seja, quando x=y. Portanto, no caso y \le x \le z a igualdade |x-z| = |x-y|+|y-z| só ocorre se y=x, o que é compatível com dizer que y está entre x e z (inclusive nas extremidades).
Caso B: x \le y \le z.
Aqui |x-y| = y-x e |y-z| = z-y. Soma:
|x-y| + |y-z| = (y-x) + (z-y) = z-x = |x-z|.
Portanto neste caso a igualdade sempre ocorre. Isso é exatamente a situação desejada: y entre x e z.
Caso C: x \le z \le y.
Aqui |x-y| = y-x e |y-z| = y-z. Soma:
|x-y| + |y-z| = (y-x) + (y-z) = 2y - x - z.
Comparando com |x-z| = z-x, a diferença é
(|x-y|+|y-z|) - |x-z| = (2y - x - z) - (z - x) = 2(y-z) \ge 0,
porque y-z \ge 0 neste caso. A diferença é zero exatamente quando y-z=0, ou seja, y=z. Mais uma vez, a igualdade só pode ocorrer se y coincide com uma das extremidades (aqui y=z), o que também significa que y está entre x e z.
Juntando os três casos, quando assumimos x \le z vemos que a igualdade |x-z| = |x-y|+|y-z| só pode ocorrer se y satisfaz x \le y \le z (incluindo os casos limites y=x ou y=z). Voltando ao caso geral (sem a hipótese x \le z), pela simetria esta conclusão dá exatamente as duas possibilidades:
x \le y \le z \quad\text{ou}\quad z \le y \le x.

Passo 5

Portanto mostramos tanto a implicação direta (ordenação implica igualdade) quanto a recíproca (igualdade implica que y está entre x e z). Assim a equivalência pedida está provada.

Resposta

|x-z|=|x-y|+|y-z| se, e somente se, x \leq y \leq z ou z \leq y \leq x.

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