Complete quadrados nas expressões, ou seja, escreva cada uma na forma a(x-b)^{2}+c
9 y^{2}-6 y-3.

Passo 1

O enunciado pede: escrever a expressão dada na forma a(x-b)^{2}+c. A expressão que temos é
9y^{2}-6y-3.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Coeficiente do termo }y^{2}: 9,\qquad \text{coeficiente do termo }y: -6,\qquad \text{termo constante: }-3.

Passo 2

Qual é a ideia geral para completar o quadrado? Vou explicar de um jeito direto e prático.
Para qualquer quadrática \,ax^{2}+bx+c com a\neq0, pode-se escrever
ax^{2}+bx+c = a\Bigl(x+\dfrac{b}{2a}\Bigr)^{2}+\Bigl(c-\dfrac{b^{2}}{4a}\Bigr).
Explicando cada pedaço:
  • a é o coeficiente do termo quadrático (no nosso caso é 9).
  • b é o coeficiente do termo linear (no nosso caso é -6).
  • A quantidade \dfrac{b}{2a} é o valor que devemos somar/subtrair dentro do quadrado para transformar x^{2}+\frac{b}{a}x em um quadrado perfeito.
  • O termo \dfrac{b^{2}}{4a} aparece porque ao escrever o quadrado perfeito acrescentamos um termo extra dentro do parêntese; por isso subtraímos esse valor multiplicado por a (o que resulta em \dfrac{b^{2}}{4a}) para manter a expressão igual à original.
Mas, para ficar mais concreto e menos abstrato, vamos aplicar isso passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Primeiro fatoramos o coeficiente 9 dos dois primeiros termos (os que envolvem y):
9y^{2}-6y-3 = 9\Bigl(y^{2}-\dfrac{6}{9}y\Bigr)-3.
Simplificando a fração dentro do parêntese:
9\Bigl(y^{2}-\dfrac{2}{3}y\Bigr)-3.

Passo 4

Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Queremos escrever y^{2}-\dfrac{2}{3}y como um quadrado perfeito menos um ajuste. Observe que, para um quadrado (y-d)^{2} vale
(y-d)^{2}=y^{2}-2dy+d^{2}.
Aqui o coeficiente de y é -2d. No nosso caso o coeficiente de y é -\dfrac{2}{3}. Logo
-2d = -\dfrac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad d=\dfrac{1}{3}.
Portanto
y^{2}-\dfrac{2}{3}y = (y-\tfrac{1}{3})^{2} - \tfrac{1}{9}.
(Explicando: ao expandir (y-\tfrac{1}{3})^{2} obtém-se y^{2}-\tfrac{2}{3}y+\tfrac{1}{9}, então para recuperar y^{2}-\tfrac{2}{3}y subtrai-se \tfrac{1}{9}.)

Passo 5

Substituindo essa identidade de volta na expressão que tinha o fator 9:
9\Bigl(y^{2}-\dfrac{2}{3}y\Bigr)-3 =9\Bigl((y-\tfrac{1}{3})^{2}-\tfrac{1}{9}\Bigr)-3.
Agora distribuímos o 9:
9(y-\tfrac{1}{3})^{2}-9\cdot\tfrac{1}{9}-3.
Calculando os termos constantes:
-9\cdot\tfrac{1}{9} = -1,
então
9(y-\tfrac{1}{3})^{2}-1-3.

Passo 6

Somando as constantes:
-1-3 = -4,
logo a expressão final na forma completada do quadrado é
9\Bigl(y-\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2}-4.

Passo 7

Um pequeno cheque rápido (opcional): expandindo 9(y-\tfrac{1}{3})^{2}-4 temos
9\bigl(y^{2}-\tfrac{2}{3}y+\tfrac{1}{9}\bigr)-4 =9y^{2}-6y+1-4 =9y^{2}-6y-3,
que é a expressão original — bingo!

Resposta

9\Bigl(y-\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2}-4

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