Complete quadrados nas expressões, ou seja, escreva cada uma na forma
.
Passo 1
O enunciado pede: escrever a expressão dada na forma
. A expressão que temos é
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Qual é a ideia geral para completar o quadrado? Vou explicar de um jeito direto e prático.
Para qualquer quadrática
com
, pode-se escrever
Explicando cada pedaço:
-
é o coeficiente do termo quadrático (no nosso caso é ). -
é o coeficiente do termo linear (no nosso caso é ). - A quantidade
é o valor que devemos somar/subtrair dentro do quadrado para transformar em um quadrado perfeito. - O termo
aparece porque ao escrever o quadrado perfeito acrescentamos um termo extra dentro do parêntese; por isso subtraímos esse valor multiplicado por (o que resulta em ) para manter a expressão igual à original.
Mas, para ficar mais concreto e menos abstrato, vamos aplicar isso passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Primeiro fatoramos o coeficiente
dos dois primeiros termos (os que envolvem
):
Simplificando a fração dentro do parêntese:
Passo 4
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Queremos escrever
como um quadrado perfeito menos um ajuste. Observe que, para um quadrado
vale
Aqui o coeficiente de
é
. No nosso caso o coeficiente de
é
. Logo
Portanto
(Explicando: ao expandir
obtém-se
, então para recuperar
subtrai-se
.)
Passo 5
Substituindo essa identidade de volta na expressão que tinha o fator
:
Agora distribuímos o
:
Calculando os termos constantes:
então
Passo 6
Somando as constantes:
logo a expressão final na forma completada do quadrado é
Passo 7
Um pequeno cheque rápido (opcional): expandindo
temos
que é a expressão original — bingo!