Complete quadrados nas expressões, ou seja, escreva cada uma na forma a(x-b)^{2}+c
x^{2}-8 x+1.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a expressão dada na forma a(x-b)^{2}+c. A expressão fornecida é
x^{2}-8x+1.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • Coeficiente de x^{2} é 1.
  • Coeficiente de x é -8.
  • Termo constante é 1.

Passo 2

Ideia do método “completar o quadrado” (explicação didática): quando se tem um trinômio quadrático na forma \,x^{2}+bx+c, pode-se transformar os dois primeiros termos num quadrado perfeito adicionando e subtraindo \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}. Em símbolos:
x^{2}+bx = \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} - \left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui b é o coeficiente de x. A razão disso é que \left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}=x^{2}+bx+\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}, então subtrair \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} corrige a soma extra.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: o coeficiente b é -8. Calculo metade de b:
\frac{b}{2}=\frac{-8}{2}=-4.

Passo 4

Calculo o quadrado dessa metade:
\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=(-4)^{2}=16.

Passo 5

Agora adiciono e subtraio 16 dentro da expressão para não mudar o valor total, e reagrupo:
x^{2}-8x+1 = x^{2}-8x+16 -16 +1.
Os três primeiros termos formam um quadrado perfeito.

Passo 6

Escrevo o quadrado perfeito e simplifico os termos constantes que ficaram sobrando:
x^{2}-8x+16 = (x-4)^{2},
e
-16+1 = -15.
Portanto a decomposição está pronta para ser escrita na forma pedida.

Resposta

(x-4)^{2}-15

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