Complete quadrados e ache as raízes das equações
15-9 x^{2}+6 x=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
15-9x^{2}+6x=0
O que se pede:
  • Completar quadrados (ou seja, escrever a expressão quadrática como um quadrado perfeito mais/soma de termos constantes).
  • Achar as raízes da equação (os valores de x que tornam a igualdade verdadeira).
Informações relevantes extraídas do enunciado (colocadas no formato padrão ax^{2}+bx+c=0):
-9x^{2}+6x+15=0,
portanto a=-9, b=6 e c=15.

Passo 2

Por que é conveniente transformar a equação?
É mais simples completar quadrados quando o coeficiente do termo x^{2} é 1. Então primeiro vou multiplicar a equação por -1 para deixar o coeficiente positivo e depois dividir por 9 para obter coeficiente 1.
Multiplicando por -1:
9x^{2}-6x-15=0.
Dividindo ambos os lados por 9:
x^{2}-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{3}=0.

Passo 3

Isolar os termos com x para preparar a completude do quadrado:
x^{2}-\dfrac{2}{3}x=\dfrac{5}{3}.
Agora explico a ideia de completar quadrados: para uma expressão do tipo x^{2}+px, acrescentando e subtraindo \left(\dfrac{p}{2}\right)^{2} podemos escrever um quadrado perfeito:
x^{2}+px=\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}.
No nosso caso p=-\dfrac{2}{3}.

Passo 4

Calcular \left(\dfrac{p}{2}\right)^{2} com p=-\dfrac{2}{3}:
\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}=\left(-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}.
Adicionar esse valor em ambos os lados da equação (para não alterarmos a igualdade) e reescrever o lado esquerdo como quadrado perfeito:
x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}=\dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{9}.

Passo 5

Escrever o lado esquerdo como quadrado e somar as frações no lado direito:
\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{9}.
Calcular a soma no lado direito usando denominador comum 9:
\dfrac{5}{3}=\dfrac{15}{9},\qquad \dfrac{15}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{16}{9}.
Logo
\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{16}{9}.

Passo 6

Resolver a equação quadrática tirando a raiz quadrada dos dois lados (lembrando do sinal \pm):
x-\dfrac{1}{3}=\pm \dfrac{4}{3}.
Portanto:
x=\dfrac{1}{3}\pm\dfrac{4}{3}.

Passo 7

Calcular as duas soluções:
x=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{3},
x=\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{3}{3}=-1.
Como verificação rápida (opcional): substituir x=-1 e x=\tfrac{5}{3} na equação original confirma que ambos satisfazem 15-9x^{2}+6x=0.

Resposta

x=-1
x=\dfrac{5}{3}

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