Complete quadrados e ache as raízes das equações
.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
O que se pede:
- Completar quadrados (ou seja, escrever a expressão quadrática como um quadrado perfeito mais/soma de termos constantes).
- Achar as raízes da equação (os valores de
que tornam a igualdade verdadeira).
Informações relevantes extraídas do enunciado (colocadas no formato padrão
):
portanto
,
e
.
Passo 2
Por que é conveniente transformar a equação?
É mais simples completar quadrados quando o coeficiente do termo é
. Então primeiro vou multiplicar a equação por
para deixar o coeficiente positivo e depois dividir por
para obter coeficiente
.
É mais simples completar quadrados quando o coeficiente do termo
Multiplicando por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Isolar os termos com
para preparar a completude do quadrado:
Agora explico a ideia de completar quadrados: para uma expressão do tipo
, acrescentando e subtraindo
podemos escrever um quadrado perfeito:
No nosso caso
.
Passo 4
Calcular
com
:
Adicionar esse valor em ambos os lados da equação (para não alterarmos a igualdade) e reescrever o lado esquerdo como quadrado perfeito:
Passo 5
Escrever o lado esquerdo como quadrado e somar as frações no lado direito:
Calcular a soma no lado direito usando denominador comum
:
Logo
Passo 6
Resolver a equação quadrática tirando a raiz quadrada dos dois lados (lembrando do sinal
):
Portanto:
Passo 7
Calcular as duas soluções:
Como verificação rápida (opcional): substituir
e
na equação original confirma que ambos satisfazem
.