(2025062017). Prove que duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas retas r e s que são reversas (ou seja, não se intersectam e não são paralelas) e uma reta t que intersecta simultaneamente r e s. Chamemos de
A = r\cap t,
B = s\cap t.
Queremos mostrar que o par de retas \{r,t\} gera um plano \alpha e o par \{s,t\} gera um plano \beta, e que \alpha\neq\beta.

Passo 2

Pelo axioma da geometria espacial, duas retas distintas que se intersectam determinam um único plano.
– Como r e t se intersectam em A, existe um único plano \alpha que contém r e t.
– Como s e t se intersectam em B, existe um único plano \beta que contém s e t.

Passo 3

Suponha, por contradição, que \alpha = \beta. Então r, s e t estariam todos no mesmo plano \alpha. Mas num mesmo plano, quaisquer duas retas são ou paralelas ou se intersectam em um ponto. Assim, em \alpha, as retas r e s ou seriam paralelas ou se cruzariam, o que contradiz o fato delas serem reversas (nem paralelas nem concorrentes).

Resposta

Portanto, \alpha e \beta devem ser planos distintos.

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