(2025062017). Prove que duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas retas
e
que são reversas (ou seja, não se intersectam e não são paralelas) e uma reta
que intersecta simultaneamente
e
. Chamemos de
– ,
– .
Queremos mostrar que o par de retas gera um plano
e o par
gera um plano
, e que
.
–
–
Queremos mostrar que o par de retas
Passo 2
Pelo axioma da geometria espacial, duas retas distintas que se intersectam determinam um único plano.
– Como e
se intersectam em
, existe um único plano
que contém
e
.
– Como e
se intersectam em
, existe um único plano
que contém
e
.
– Como
– Como
Passo 3
Suponha, por contradição, que
. Então
,
e
estariam todos no mesmo plano
. Mas num mesmo plano, quaisquer duas retas são ou paralelas ou se intersectam em um ponto. Assim, em
, as retas
e
ou seriam paralelas ou se cruzariam, o que contradiz o fato delas serem reversas (nem paralelas nem concorrentes).
Resposta
Portanto,
e
devem ser planos distintos.