a) Encontre os pontos críticos desse sistema.
b) Para cada ponto crítico, encontre os autovalores da matrix correspon-dente a parte linear e classifique quanto à estabilidade.
c) Faça um esboço do diagrama de fases.
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=x(1-y) \\\ y^{\prime}=y(x-1) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema planar
\begin{cases} x' = x\,(1 - y),\\\ y' = y\,(x - 1), \end{cases}
e pede: (a) pontos críticos; (b) autovalores do Jacobiano em cada ponto e classificação de estabilidade; (c) esboço do diagrama de fases. Vamos precisar resolver x'=0 e y'=0, depois montar a matriz Jacobiana, calcular traço e determinante para classificar cada equilíbrio, e por fim analisar as regiões delimitadas pelas linhas-nulas para desenhar o fluxo.

Passo 2

Para achar os pontos críticos resolvemos simultaneamente
x\,(1 - y) = 0, \quad y\,(x - 1) = 0.
Da primeira equação vem x=0 ou y=1. Da segunda vem y=0 ou x=1. Combinando as opções obtemos quatro candidatos:
(x,y) = (0,0), (1,0), (0,1), (1,1).

Passo 3

Calculamos a matriz Jacobiana do vetor campo \bigl(f_1,f_2\bigr)=(x(1-y),\,y(x-1)).
As derivadas parciais são
\frac{\partial f_1}{\partial x} = 1 - y, \quad \frac{\partial f_1}{\partial y} = -x, \quad \frac{\partial f_2}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial f_2}{\partial y} = x - 1.
Logo
J(x,y) = \begin{pmatrix} 1 - y & -\,x\\[6pt] y & x - 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora avaliamos J em cada ponto crítico, achamos traço \tau, determinante \Delta e autovalores \lambda.
Em (0,0):
J(0,0)=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}, \quad \tau=1+(-1)=0, \quad \Delta=1\cdot(-1)-0= -1.
Como \Delta<0, é um ponto de sela (saddle), sempre instável (um autovalor positivo e um negativo).
Em (1,0):
J(1,0)=\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad \tau=1+0=1, \quad \Delta=1\cdot0-(-1)\cdot0=0.
Aqui \Delta=0 e há um autovalor \lambda_1=1>0 e outro \lambda_2=0. É um caso não-hiperbólico, com uma direção instável e uma direção neutra (um nó-sela degenerado), portanto instável.
Em (0,1):
J(0,1)=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&-1\end{pmatrix}, \quad \tau=0+(-1)=-1, \quad \Delta=0\cdot(-1)-0\cdot1=0.
Aqui \Delta=0 e há um autovalor \lambda_1=-1<0 e \lambda_2=0. Também não-hiperbólico, com uma direção estável e uma neutra, instável em geral (saddle-node degenerado).
Em (1,1):
J(1,1)=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix}, \quad \tau=0+0=0, \quad \Delta=0\cdot0-(-1)\cdot1=1.
Aqui \Delta>0 e \tau=0, os autovalores são \lambda=\pm i. Trata-se de um núcleo linear (center), com órbitas fechadas em volta, estabilidade neutra.

Passo 5

Para esboçar o diagrama de fases observamos as linhas-nulas:
\{x=0\} e \{y=1\} anularizam x';
\{y=0\} e \{x=1\} anularizam y'.
Cada região do plano fica dividida por essas retas, e nos eixos vemos que em y=0, x'>0 para x>0; em x=0, y'<0 para y>0. Em volta de (1,1) o campo rotaciona produzindo ciclos fechados. Nos pontos não-hiperbólicos (1,0) e (0,1) há uma direção neutra. Em suma, desenhamos as quatro retas, colocamos setas de acordo com o sinal de x' e y' em cada canto, marcamos o sela em (0,0), o centro em (1,1) e as degenerescências em (1,0), (0,1).

Resposta

Pontos críticos e classificações:
(0,0): saddle, \lambda=\{1,-1\}, instável.
(1,0): degenerado ( \lambda=\{1,0\}), instável.
(0,1): degenerado ( \lambda=\{-1,0\}), instável.
(1,1): center, \lambda=\{\pm i\}, estabilidade neutra.

Exercícios relacionados