a) Encontre os pontos críticos desse sistema.
b) Para cada ponto crítico, encontre os autovalores da matrix correspon-dente a parte linear e classifique quanto à estabilidade.
c) Faça um esboço do diagrama de fases.
b) Para cada ponto crítico, encontre os autovalores da matrix correspon-dente a parte linear e classifique quanto à estabilidade.
c) Faça um esboço do diagrama de fases.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema planar
e pede: (a) pontos críticos; (b) autovalores do Jacobiano em cada ponto e classificação de estabilidade; (c) esboço do diagrama de fases. Vamos precisar resolver
e
, depois montar a matriz Jacobiana, calcular traço e determinante para classificar cada equilíbrio, e por fim analisar as regiões delimitadas pelas linhas-nulas para desenhar o fluxo.
Passo 2
Para achar os pontos críticos resolvemos simultaneamente
Da primeira equação vem
ou
. Da segunda vem
ou
. Combinando as opções obtemos quatro candidatos:
Passo 3
Calculamos a matriz Jacobiana do vetor campo
.
As derivadas parciais são
As derivadas parciais são
Logo
Passo 4
Agora avaliamos
em cada ponto crítico, achamos traço
, determinante
e autovalores
.
Em
:
Como
, é um ponto de sela (saddle), sempre instável (um autovalor positivo e um negativo).
Em
:
Aqui
e há um autovalor
e outro
. É um caso não-hiperbólico, com uma direção instável e uma direção neutra (um nó-sela degenerado), portanto instável.
Em
:
Aqui
e há um autovalor
e
. Também não-hiperbólico, com uma direção estável e uma neutra, instável em geral (saddle-node degenerado).
Em
:
Aqui
e
, os autovalores são
. Trata-se de um núcleo linear (center), com órbitas fechadas em volta, estabilidade neutra.
Passo 5
Para esboçar o diagrama de fases observamos as linhas-nulas:
e
anularizam
;
e
anularizam
.
Cada região do plano fica dividida por essas retas, e nos eixos vemos que em ,
para
; em
,
para
. Em volta de
o campo rotaciona produzindo ciclos fechados. Nos pontos não-hiperbólicos
e
há uma direção neutra. Em suma, desenhamos as quatro retas, colocamos setas de acordo com o sinal de
e
em cada canto, marcamos o sela em
, o centro em
e as degenerescências em
,
.
Cada região do plano fica dividida por essas retas, e nos eixos vemos que em
Resposta
Pontos críticos e classificações:
: saddle,
, instável.
: degenerado (
), instável.
: degenerado (
), instável.
: center,
, estabilidade neutra.