(202506202). Quantas retas há no espaço? Demonstre.
Passo 1
O enunciado pergunta quantas retas existem em
. O conteúdo é teoria de cardinalidade de conjuntos infinitos e parametrização de retas. Para resolver, vamos estimar um limite superior e um limite inferior para a cardinalidade do conjunto
de todas as retas em
.
Passo 2
Determinar um limite superior para
. Como
tem cardinal
, o produto cartesiano
também tem cardinalidade
. O subconjunto
continua de cardinal
. Cada par de pontos distintos
determina uma reta, logo existe uma aplicação sobrejetiva desse conjunto de pares em
. Assim
Passo 3
Determinar um limite inferior para
. Basta contar apenas as retas que estão contidas no plano
, ou seja, as retas do plano
. É conhecido que o conjunto de retas em
tem cardinalidade
. Logo
Passo 4
Como temos simultaneamente
concluímos que
Resposta
O número de retas no espaço é
, isto é, a cardinalidade do contínuo.