(202506202). Quantas retas há no espaço? Demonstre.

Passo 1

O enunciado pergunta quantas retas existem em \mathbb{R}^3. O conteúdo é teoria de cardinalidade de conjuntos infinitos e parametrização de retas. Para resolver, vamos estimar um limite superior e um limite inferior para a cardinalidade do conjunto \mathsf{L} de todas as retas em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Determinar um limite superior para |\mathsf{L}|. Como \mathbb{R}^3 tem cardinal \mathfrak{c}, o produto cartesiano
\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3
também tem cardinalidade \mathfrak{c}\times\mathfrak{c}=\mathfrak{c}. O subconjunto
\{(P,Q)\in\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3 \mid P\neq Q\}
continua de cardinal \mathfrak{c}. Cada par de pontos distintos (P,Q) determina uma reta, logo existe uma aplicação sobrejetiva desse conjunto de pares em \mathsf{L}. Assim
|\mathsf{L}|\;\le\;\mathfrak{c}.

Passo 3

Determinar um limite inferior para |\mathsf{L}|. Basta contar apenas as retas que estão contidas no plano z=0, ou seja, as retas do plano \mathbb{R}^2. É conhecido que o conjunto de retas em \mathbb{R}^2 tem cardinalidade \mathfrak{c}$. Logo
|\mathsf{L}|\;\ge\;\mathfrak{c}.

Passo 4

Como temos simultaneamente
|\mathsf{L}|\le\mathfrak{c} \quad\text{e}\quad |\mathsf{L}|\ge\mathfrak{c},
concluímos que
|\mathsf{L}|=\mathfrak{c}.

Resposta

O número de retas no espaço é \mathfrak{c}, isto é, a cardinalidade do contínuo.

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