Mostre que:
(b) Se dois planos são paralelos, então toda reta perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois planos \Pi_1 e \Pi_2 com \Pi_1\parallel\Pi_2 e uma reta r tal que r\perp\Pi_1. Queremos provar que então r\perp\Pi_2. Vamos usar a definição de reta perpendicular a um plano e a propriedade de que planos paralelos transmitem paralelismo entre retas.

Passo 2

Lembrando a definição:
r é perpendicular ao plano \Pi_1 se, e somente se, r for perpendicular a toda reta m contida em \Pi_1. Em símbolos:
r\perp\Pi_1\quad\iff\quad\forall\,m\subset\Pi_1:\;r\perp m.

Passo 3

Agora, seja s uma reta qualquer contida em \Pi_2. Como \Pi_1\parallel\Pi_2, existe uma reta s'\subset\Pi_1 paralela a s:
s'\subset\Pi_1,\quad s\subset\Pi_2,\quad s'\parallel s.

Passo 4

De r\perp\Pi_1 segue r\perp s'. Mas como s'\parallel s, a perpendicularidade se transfere:
r\perp s'\quad\text{e}\quad s'\parallel s\quad\implies\quad r\perp s.

Passo 5

Vimos que r é perpendicular a uma reta arbitrária s de \Pi_2. Portanto, por definição,
r\perp\Pi_2.

Resposta

Qualquer reta perpendicular a um dos planos paralelos é perpendicular ao outro.

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