(2025062088). Mostre que, se uma reta a e um plano \alpha são paralelos, todo plano \beta, perpendicular à reta a , também é perpendicular ao plano \alpha.

Passo 1

O enunciado diz que a reta a é paralela ao plano \alpha e que o plano \beta é perpendicular à reta a. Queremos mostrar que \beta\perp\alpha. Para isso usaremos geometria vetorial, em particular as definições:
– Uma reta é paralela a um plano se seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano.
– Um plano é perpendicular a uma reta se seu vetor normal é paralelo ao vetor diretor da reta.
– Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais.

Passo 2

Escolhemos um vetor v que seja diretor da reta a, e um vetor n que seja normal ao plano \alpha.
Como a\parallel\alpha, temos que v é ortogonal a todo vetor em \alpha, em particular a n. Logo
v\cdot n = 0.

Passo 3

Seja m um vetor normal ao plano \beta.
Como \beta\perp a, o normal m de \beta é paralelo à diretriz v de a, ou seja, existe escalar \lambda\neq0 tal que
m = \lambda\,v.

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar entre m e n:
m\cdot n = (\lambda\,v)\cdot n = \lambda\,(v\cdot n) = \lambda\cdot0 = 0.
Portanto m\perp n.

Passo 5

Como os vetores normais m de \beta e n de \alpha são ortogonais, concluímos que os planos \beta e \alpha são perpendiculares.

Resposta

O plano \beta é perpendicular ao plano \alpha.

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