- 20E. Mostre que a intensidade da onda sonora I pode ser escrita em função da freqüência
, no lugar da freqüência angular
, na forma
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a intensidade da onda sonora
pode ser escrita em função da frequência
(em vez da frequência angular
) na forma
Informações e hipóteses que vamos usar (estas são as condições típicas de uma onda sonora progressiva harmônica, assumidas aqui porque o enunciado quer reescrever a expressão em termos de
):
- A densidade do meio é
. - A velocidade de propagação da onda no meio é
. - A amplitude máxima do deslocamento das partículas é
. - A onda é harmônica e plana, de forma usual dada por
. - Relação entre frequência angular e frequência:
.
Não vou resolver ainda; só organizei o que é pedido e os dados que serão usados.
Passo 2
Escrever a função deslocamento e obter a velocidade das partículas. Para uma onda progressiva harmônica de deslocamento longitudinal escolhemos
onde:
-
é o deslocamento instantâneo da partícula situada em ; -
é a amplitude do deslocamento; -
é o número de onda; -
é a frequência angular.
A velocidade instantânea das partículas (velocidade da partícula do meio) é a derivada temporal de:
Logo a amplitude da velocidade das partículas é
Passo 3
Relacionar a variação de pressão com o deslocamento. Em acústica linear a variação de pressão
é relacionada à compressão espacial
através do módulo adiabático (ou, equivalentemente, usando
e
):
Explicação rápida e intuitiva:
é a deformação local; multiplicando pelo módulo de compressibilidade do meio obtém-se a pressão. Para a nossa onda,
portanto
A amplitude da variação de pressão é, então,
Passo 4
Definir intensidade instantânea e média. A intensidade instantânea (potência por área) transportada pela onda em uma direção é o produto entre a pressão instantânea e a velocidade das partículas naquela direção:
A intensidade que geralmente se usa é a média temporal de
ao longo de um período. Para funções harmônicas senoidais, se
e
(mesma fase no nosso caso), então o produto é
e a média temporal de
é
. Logo a intensidade média é
Passo 5
Substituir
e
na expressão da intensidade média. Usando
e
obtemos
Agora usar a relação de dispersão para ondas não dispersivas (ondas sonoras em meio homogêneo):
, ou seja
. Substituindo,
Passo 6
Trocar
por
. Como
, fazemos a substituição em
e obtemos
Pronto: a intensidade está escrita em função de
.