• 20E. Mostre que a intensidade da onda sonora I pode ser escrita em função da freqüência \nu, no lugar da freqüência angular \omega, na forma
I=2 \pi^{2} \rho v v^{2} s_{m}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a intensidade da onda sonora I pode ser escrita em função da frequência \nu (em vez da frequência angular \omega) na forma
I=2\pi^{2}\rho v \nu^{2} s_{m}^{2}.
Informações e hipóteses que vamos usar (estas são as condições típicas de uma onda sonora progressiva harmônica, assumidas aqui porque o enunciado quer reescrever a expressão em termos de \nu):
  • A densidade do meio é \rho.
  • A velocidade de propagação da onda no meio é v.
  • A amplitude máxima do deslocamento das partículas é s_{m}.
  • A onda é harmônica e plana, de forma usual dada por s(x,t)=s_{m}\cos(kx-\omega t).
  • Relação entre frequência angular e frequência: \omega=2\pi\nu.
    Não vou resolver ainda; só organizei o que é pedido e os dados que serão usados.

Passo 2

Escrever a função deslocamento e obter a velocidade das partículas. Para uma onda progressiva harmônica de deslocamento longitudinal escolhemos
s(x,t)=s_{m}\cos(kx-\omega t),
onde:
  • s(x,t) é o deslocamento instantâneo da partícula situada em x;
  • s_{m} é a amplitude do deslocamento;
  • k é o número de onda;
  • \omega é a frequência angular.
    A velocidade instantânea das partículas (velocidade da partícula do meio) é a derivada temporal de s:
u(x,t)=\frac{\partial s}{\partial t}=\omega s_{m}\sin(kx-\omega t).
Logo a amplitude da velocidade das partículas é
u_{m}=\omega s_{m}.

Passo 3

Relacionar a variação de pressão com o deslocamento. Em acústica linear a variação de pressão p(x,t) é relacionada à compressão espacial \partial s/\partial x através do módulo adiabático (ou, equivalentemente, usando v e \rho):
p(x,t)=-\rho v^{2}\frac{\partial s}{\partial x}.
Explicação rápida e intuitiva: \partial s/\partial x é a deformação local; multiplicando pelo módulo de compressibilidade do meio obtém-se a pressão. Para a nossa onda,
\frac{\partial s}{\partial x}=-k s_{m}\sin(kx-\omega t),
portanto
p(x,t)=-\rho v^{2}\bigl(-k s_{m}\sin(kx-\omega t)\bigr)=\rho v^{2}k s_{m}\sin(kx-\omega t).
A amplitude da variação de pressão é, então,
p_{m}=\rho v^{2}k s_{m}.

Passo 4

Definir intensidade instantânea e média. A intensidade instantânea (potência por área) transportada pela onda em uma direção é o produto entre a pressão instantânea e a velocidade das partículas naquela direção:
I_{\text{inst}}(x,t)=p(x,t)\,u(x,t).
A intensidade que geralmente se usa é a média temporal de I_{\text{inst}} ao longo de um período. Para funções harmônicas senoidais, se p(x,t)=p_{m}\sin(\varphi) e u(x,t)=u_{m}\sin(\varphi) (mesma fase no nosso caso), então o produto é p_{m}u_{m}\sin^{2}(\varphi) e a média temporal de \sin^{2} é 1/2. Logo a intensidade média é
I=\langle p\,u\rangle=\tfrac{1}{2}p_{m}u_{m}.

Passo 5

Substituir p_{m} e u_{m} na expressão da intensidade média. Usando p_{m}=\rho v^{2}k s_{m} e u_{m}=\omega s_{m} obtemos
I=\tfrac{1}{2}\bigl(\rho v^{2}k s_{m}\bigr)\bigl(\omega s_{m}\bigr) =\tfrac{1}{2}\rho v^{2}k\omega s_{m}^{2}.
Agora usar a relação de dispersão para ondas não dispersivas (ondas sonoras em meio homogêneo): \omega=v k, ou seja k=\omega/v. Substituindo,
I=\tfrac{1}{2}\rho v^{2}\left(\frac{\omega}{v}\right)\omega s_{m}^{2} =\tfrac{1}{2}\rho v \,\omega^{2}s_{m}^{2}.

Passo 6

Trocar \omega por \nu. Como \omega=2\pi\nu, fazemos a substituição em
I=\tfrac{1}{2}\rho v\,\omega^{2}s_{m}^{2}
e obtemos
I=\tfrac{1}{2}\rho v\,(2\pi\nu)^{2}s_{m}^{2} =\tfrac{1}{2}\rho v\,4\pi^{2}\nu^{2}s_{m}^{2} =2\pi^{2}\rho v\,\nu^{2}s_{m}^{2}.
Pronto: a intensidade está escrita em função de \nu.

Resposta

I=2\pi^{2}\rho v\,\nu^{2}s_{m}^{2}

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