(20pts) 4) No corpo \mathbb{Z}_{23}, determine o inverso multiplicativo do elemento \overline{10}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o inverso multiplicativo do elemento \overline{10} no corpo \mathbb{Z}_{23}.
Informações dadas e o que isso significa, em linguagem clara:
O anel é \mathbb{Z}_{23}, ou seja, operações feitas módulo 23.
Queremos encontrar uma classe \overline{a} tal que
\overline{10}\cdot\overline{a}=\overline{1}
no sentido de congruência módulo 23.
Em termos inteiros, isto equivale a achar um inteiro a tal que
10a\equiv 1 \pmod{23}.
Passo 2
Explicando o que é o inverso multiplicativo (passo didático):
Dizemos que \overline{a} é o inverso multiplicativo de \overline{10} se multiplicando as representações inteiras obtemos um número congruente a 1 módulo 23. Ou seja, existe inteiro k com
10a - 23k = 1.
Isso é equivalente a escrever 1 como combinação linear de 10 e 23. Se essa combinação existe, então \gcd(10,23)=1. Aqui 23 é primo, então \gcd(10,23)=1 e o inverso existe e é único módulo 23.
Agora vamos achar esse a de forma prática.
Passo 3
Jeito rápido e direto (às vezes na prova é o mais útil): testar pequenos multiplicadores de 10 até achar um cujo produto difira de um múltiplo de 23 em exatamente 1.
Calcule:
10\cdot 7 = 70.
Agora subtrai 3 vezes 23:
70 - 3\cdot 23 = 70 - 69 = 1.
Isso mostra que
10\cdot 7 \equiv 1 \pmod{23}.
Logo, \overline{7} é o inverso multiplicativo de \overline{10}. (Pronto! Resultado encontrado de forma rápida.)
Passo 4
Método sistemático — algoritmo de Euclides estendido (útil quando não dá para adivinhar): queremos achar inteiros x,y tais que
10x + 23y = 1.
Aplicando a divisão euclidiana para calcular o \gcd e obter as combinações:
Isso mostra que x=7 e y=-3 satisfazem 10x+23y=1. Reduzindo módulo 23 obtemos 7\cdot 10\equiv 1, portanto o inverso de \overline{10} é \overline{7}. Esse método funciona sempre e é o jeito “à prova de erro” quando o multiplicador não é óbvio.