(20pts) 4) No corpo \mathbb{Z}_{23}, determine o inverso multiplicativo do elemento \overline{10}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o inverso multiplicativo do elemento \overline{10} no corpo \mathbb{Z}_{23}.
Informações dadas e o que isso significa, em linguagem clara:
  • O anel é \mathbb{Z}_{23}, ou seja, operações feitas módulo 23.
  • Queremos encontrar uma classe \overline{a} tal que
\overline{10}\cdot\overline{a}=\overline{1}
no sentido de congruência módulo 23.
  • Em termos inteiros, isto equivale a achar um inteiro a tal que
10a\equiv 1 \pmod{23}.

Passo 2

Explicando o que é o inverso multiplicativo (passo didático):
  • Dizemos que \overline{a} é o inverso multiplicativo de \overline{10} se multiplicando as representações inteiras obtemos um número congruente a 1 módulo 23. Ou seja, existe inteiro k com
10a - 23k = 1.
  • Isso é equivalente a escrever 1 como combinação linear de 10 e 23. Se essa combinação existe, então \gcd(10,23)=1. Aqui 23 é primo, então \gcd(10,23)=1 e o inverso existe e é único módulo 23.
  • Agora vamos achar esse a de forma prática.

Passo 3

Jeito rápido e direto (às vezes na prova é o mais útil): testar pequenos multiplicadores de 10 até achar um cujo produto difira de um múltiplo de 23 em exatamente 1.
Calcule:
10\cdot 7 = 70.
Agora subtrai 3 vezes 23:
70 - 3\cdot 23 = 70 - 69 = 1.
Isso mostra que
10\cdot 7 \equiv 1 \pmod{23}.
Logo, \overline{7} é o inverso multiplicativo de \overline{10}. (Pronto! Resultado encontrado de forma rápida.)

Passo 4

Método sistemático — algoritmo de Euclides estendido (útil quando não dá para adivinhar): queremos achar inteiros x,y tais que
10x + 23y = 1.
Aplicando a divisão euclidiana para calcular o \gcd e obter as combinações:
\begin{aligned} 23 &= 2\cdot 10 + 3,\\\\ 10 &= 3\cdot 3 + 1,\\\\ 3 &= 3\cdot 1 + 0. \end{aligned}
Agora voltamos (retro-substituição) para escrever 1 como combinação de 10 e 23. Da segunda linha:
1 = 10 - 3\cdot 3.
Da primeira linha temos 3 = 23 - 2\cdot 10. Substituindo:
\begin{aligned} 1 &= 10 - 3\cdot(23 - 2\cdot 10)\\\ &= 10 - 3\cdot 23 + 6\cdot 10\\\ &= 7\cdot 10 - 3\cdot 23. \end{aligned}
Isso mostra que x=7 e y=-3 satisfazem 10x+23y=1. Reduzindo módulo 23 obtemos 7\cdot 10\equiv 1, portanto o inverso de \overline{10} é \overline{7}. Esse método funciona sempre e é o jeito “à prova de erro” quando o multiplicador não é óbvio.

Passo 5

Verificação final e observações práticas:
  • Verificando: 10\cdot 7 = 70 e 70 \equiv 1 \pmod{23}, confirmando.
  • Como \gcd(10,23)=1, o inverso é único na classe de restos mod 23; escolhemos o representante 7 no intervalo usual 0,1,\dots,22.

Resposta

\overline{7}

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