(20pts) 2) Consideremos o conjunto dos números inteiros \mathbb{Z} com a operação definida por x * y=x+y-3. Mostre que G=(\mathbb{Z}, *) é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto dos inteiros \mathbb{Z} com a operação binária
x*y = x+y-3
definida para quaisquer x,y\in\mathbb{Z}. A tarefa é mostrar que G=(\mathbb{Z},*) satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um grupo e, além disso, que a operação é comutativa (ou seja, o grupo é abeliano).
As propriedades que precisamos verificar são:
  • Fechamento: para todo x,y\in\mathbb{Z}, x*y\in\mathbb{Z}.
  • Associatividade: para todo x,y,z\in\mathbb{Z}, (x*y)*z = x*(y*z).
  • Existência de elemento identidade e\in\mathbb{Z} tal que, para todo x\in\mathbb{Z}, e*x = x e x*e = x.
  • Existência de inversos: para todo x\in\mathbb{Z} existe x^{-1}\in\mathbb{Z} com x*x^{-1}=e e x^{-1}*x=e.
  • Comutatividade: para todo x,y\in\mathbb{Z}, x*y = y*x.
A partir daqui vamos verificar cada item passo a passo, mostrando também como encontrar explicitamente o elemento identidade e a fórmula do inverso.

Passo 2

Fechamento. Quero mostrar que se x e y são inteiros então x*y também é inteiro.
Por definição,
x*y = x+y-3.
A soma de dois inteiros é inteiro e subtrair 3 (outro inteiro) também resulta em inteiro. Portanto x+y-3\in\mathbb{Z}. Conclusão: a operação está bem definida em \mathbb{Z} e o conjunto é fechado sob *.

Passo 3

Associatividade. Vou verificar que (x*y)*z = x*(y*z) para todos x,y,z\in\mathbb{Z}.
Calculo o lado esquerdo:
(x*y)*z = (x+y-3)*z = (x+y-3)+z-3.
Simplificando,
(x+y-3)+z-3 = x+y+z-6.
Agora o lado direito:
x*(y*z) = x*(y+z-3) = x+(y+z-3)-3.
Simplificando,
x+(y+z-3)-3 = x+y+z-6.
Como ambos os lados simplificam para x+y+z-6, tem-se
(x*y)*z = x*(y*z)
para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Z}. Assim, * é associativa. Note que usei a associatividade e comutatividade habituais da adição ao rearranjar termos, mas aqui a verificação direta algébrica já basta.

Passo 4

Elemento identidade. Vou procurar um e\in\mathbb{Z} tal que, para todo x\in\mathbb{Z},
e*x = x \qquad\text{e}\qquad x*e = x.
Usando a definição da operação, a condição e*x = x
e+x-3 = x.
Subtraindo x de ambos os lados obtemos
e-3 = 0 \quad\Rightarrow\quad e = 3.
Verifico também x*e:
x*e = x+e-3 = x+3-3 = x,
logo e=3 funciona como identidade à esquerda e à direita. Portanto o elemento identidade é 3.
Posso ainda notar que a identidade é única: se e' fosse outra identidade, então e' = e'*e = e, logo e'=e.

Passo 5

Inversos. Para cada x\in\mathbb{Z} preciso encontrar y\in\mathbb{Z} tal que
x*y = e \qquad\text{e}\qquad y*x = e,
onde já sabemos e=3.
Começo resolvendo x*y = 3:
x+y-3 = 3 \quad\Rightarrow\quad x+y = 6 \quad\Rightarrow\quad y = 6-x.
Assim uma boa candidata para o inverso de x é 6-x. Note que se x\in\mathbb{Z} então 6-x\in\mathbb{Z}, ou seja, o inverso é um inteiro — isso garante existência dentro de \mathbb{Z}.
Verifico a condição também do outro lado:
y*x = (6-x)*x = (6-x)+x-3 = 6-3 = 3,
portanto y*x = 3 também. Logo 6-x é o inverso tanto à direita quanto à esquerda de x.
A unicidade do inverso também vale: se y e y' fossem ambos inversos de x, teríamos y = y*e = y*(x*y') = (y*x)*y' = e*y' = y', logo inverso único. Mas na prática basta a fórmula encontrada. Podemos anotar:
x^{-1} = 6-x.
Exemplo numérico para fixar: para x=5, x^{-1} = 6-5 = 1, e de fato 5*1 = 5+1-3 = 3.

Passo 6

Comutatividade (grupo abeliano). Mostrar que x*y = y*x para todos x,y\in\mathbb{Z}.
Pelo definição,
x*y = x+y-3 \quad\text{e}\quad y*x = y+x-3.
Como a adição de inteiros é comutativa, x+y = y+x. Portanto
x+y-3 = y+x-3,
isto é,
x*y = y*x
para quaisquer x,y. Assim a operação é comutativa e o grupo é abeliano.

Passo 7

Resumo e conclusão prática (como escrever isso na prova):
  • Mostrar fechamento com uma linha: para x,y\in\mathbb{Z}, x*y = x+y-3\in\mathbb{Z}.
  • Mostrar associatividade calculando (x*y)*z e x*(y*z) e verificando que ambos valem x+y+z-6.
  • Resolver e+x-3=x para encontrar e=3 e verificar que funciona dos dois lados.
  • Resolver x+y-3=3 para obter y=6-x e verificar que y é inverso de x.
  • Mostrar comutatividade observando x+y-3 = y+x-3.
Esses passos completam a prova de que G=(\mathbb{Z},*) é um grupo abeliano, com identidade 3 e inverso de x dado por 6-x. Boa lembrança para a prova: escreva explicitamente cada verificação e, se der tempo, coloque um pequeno exemplo numérico (como 5*1=3) para reforçar a intuição — isso costuma agradar o corretor.

Resposta

G=(\mathbb{Z},*) é um grupo abeliano (identidade 3, inverso de x igual a 6-x).

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