(20pts) 2) Consideremos o conjunto dos números inteiros
com a operação definida por
. Mostre que
é um grupo abeliano.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto dos inteiros
com a operação binária
definida para quaisquer
. A tarefa é mostrar que
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um grupo e, além disso, que a operação é comutativa (ou seja, o grupo é abeliano).
As propriedades que precisamos verificar são:
- Fechamento: para todo
, . - Associatividade: para todo
, . - Existência de elemento identidade
tal que, para todo , e . - Existência de inversos: para todo
existe com e . - Comutatividade: para todo
, .
A partir daqui vamos verificar cada item passo a passo, mostrando também como encontrar explicitamente o elemento identidade e a fórmula do inverso.
Passo 2
Fechamento. Quero mostrar que se
e
são inteiros então
também é inteiro.
Por definição,
A soma de dois inteiros é inteiro e subtrair
(outro inteiro) também resulta em inteiro. Portanto
. Conclusão: a operação está bem definida em
e o conjunto é fechado sob
.
Passo 3
Associatividade. Vou verificar que
para todos
.
Calculo o lado esquerdo:
Simplificando,
Agora o lado direito:
Simplificando,
Como ambos os lados simplificam para
, tem-se
para quaisquer
. Assim,
é associativa. Note que usei a associatividade e comutatividade habituais da adição ao rearranjar termos, mas aqui a verificação direta algébrica já basta.
Passo 4
Elemento identidade. Vou procurar um
tal que, para todo
,
Usando a definição da operação, a condição
dá
Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Verifico também
:
logo
funciona como identidade à esquerda e à direita. Portanto o elemento identidade é
.
Posso ainda notar que a identidade é única: se
fosse outra identidade, então
, logo
.
Passo 5
Inversos. Para cada
preciso encontrar
tal que
onde já sabemos
.
Começo resolvendo
:
Assim uma boa candidata para o inverso de
é
. Note que se
então
, ou seja, o inverso é um inteiro — isso garante existência dentro de
.
Verifico a condição também do outro lado:
portanto
também. Logo
é o inverso tanto à direita quanto à esquerda de
.
A unicidade do inverso também vale: se
e
fossem ambos inversos de
, teríamos
, logo inverso único. Mas na prática basta a fórmula encontrada. Podemos anotar:
Exemplo numérico para fixar: para
,
, e de fato
.
Passo 6
Comutatividade (grupo abeliano). Mostrar que
para todos
.
Pelo definição,
Como a adição de inteiros é comutativa,
. Portanto
isto é,
para quaisquer
. Assim a operação é comutativa e o grupo é abeliano.
Passo 7
Resumo e conclusão prática (como escrever isso na prova):
- Mostrar fechamento com uma linha: para
, . - Mostrar associatividade calculando
e e verificando que ambos valem . - Resolver
para encontrar e verificar que funciona dos dois lados. - Resolver
para obter e verificar que é inverso de . - Mostrar comutatividade observando
.
Esses passos completam a prova de que
é um grupo abeliano, com identidade
e inverso de
dado por
. Boa lembrança para a prova: escreva explicitamente cada verificação e, se der tempo, coloque um pequeno exemplo numérico (como
) para reforçar a intuição — isso costuma agradar o corretor.