(20pts) 4) Consideremos o grupo
e
definida por
. Mostre que
é um homomorfismo de
em
e calcule seu núcleo.
Passo 1
O enunciado dá o grupo
(adição componente a componente) e a aplicação
definida por
O que nos pedem:
- Mostrar que
é um homomorfismo de grupos (ou seja, preserva a operação de adição). - Calcular o núcleo de
, isto é, .
Passo 2
Lembrete do conceito (passo-a-passo): para grupos abelianos escritos aditivamente, uma aplicação
é homomorfismo se, para quaisquer elementos
,
Aqui os elementos são pares
e a soma é componente a componente:
Vou usar essa definição diretamente para verificar
.
Passo 3
Calcular
na soma de dois pares quaisquer
e
. Primeiro somam-se as componentes:
Aplicando
a esse resultado:
Agora reagrupo os termos (distributividade da adição de inteiros):
Isso é exatamente a soma dos vetores
e
, ou seja
Mas cada um desses vetores é
e
. Portanto
Concluímos que
preserva a soma, logo
é um homomorfismo de
em
.
Passo 4
Agora calculo o núcleo
Escrevendo a condição
obtemos o sistema de equações inteiras:
Somando as duas equações dá
Como estamos em
é
. Substituindo
em
vem
. Alternativamente, subtraindo as equações obtém-se
e chega-se à mesma conclusão
.]
Passo 5
Portanto o único par que vai para
é
mesmo. Assim
Como comentário final (útil para a prova): um homomorfismo de grupos com núcleo trivial é injetivo; portanto
é injetivo. (Não foi pedido, mas é bom lembrar.)