(20pts) 4) Consideremos o grupo G=(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z},+) e f: G \longrightarrow G definida por f(x, y)=(x+y, x-y). Mostre que f é um homomorfismo de G em G e calcule seu núcleo.

Passo 1

O enunciado dá o grupo G=(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},+) (adição componente a componente) e a aplicação f:G\to G definida por
f(x,y)=(x+y,\;x-y).
O que nos pedem:
  • Mostrar que f é um homomorfismo de grupos (ou seja, preserva a operação de adição).
  • Calcular o núcleo de f, isto é, \ker(f)=\{(x,y)\in G \mid f(x,y)=(0,0)\}.

Passo 2

Lembrete do conceito (passo-a-passo): para grupos abelianos escritos aditivamente, uma aplicação f é homomorfismo se, para quaisquer elementos a,b\in G,
f(a+b)=f(a)+f(b).
Aqui os elementos são pares (x,y) e a soma é componente a componente:
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Vou usar essa definição diretamente para verificar f.

Passo 3

Calcular f na soma de dois pares quaisquer (x_1,y_1) e (x_2,y_2). Primeiro somam-se as componentes:
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando f a esse resultado:
f\bigl(x_1+x_2,\;y_1+y_2\bigr)=\bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)-(y_1+y_2)\bigr).
Agora reagrupo os termos (distributividade da adição de inteiros):
\bigl((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(x_1-y_1)+(x_2-y_2)\bigr).
Isso é exatamente a soma dos vetores (x_1+y_1,x_1-y_1) e (x_2+y_2,x_2-y_2), ou seja
\bigl((x_1+y_1),(x_1-y_1)\bigr)+\bigl((x_2+y_2),(x_2-y_2)\bigr).
Mas cada um desses vetores é f(x_1,y_1) e f(x_2,y_2). Portanto
f\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2).
Concluímos que f preserva a soma, logo f é um homomorfismo de G em G.

Passo 4

Agora calculo o núcleo \ker(f)\). Por definição, \[\ker(f)=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mid f(x,y)=(0,0)\}.
Escrevendo a condição f(x,y)=(0,0) obtemos o sistema de equações inteiras:
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] x-y=0. \end{cases}
Somando as duas equações dá
2x=0.
Como estamos em \mathbb{Z}\], a única solução de \(2x=0 é x=0. Substituindo x=0 em x+y=0 vem y=0. Alternativamente, subtraindo as equações obtém-se 2y=0 e chega-se à mesma conclusão y=0.]

Passo 5

Portanto o único par que vai para (0,0) é (0,0) mesmo. Assim
\ker(f)=\{(0,0)\}.
Como comentário final (útil para a prova): um homomorfismo de grupos com núcleo trivial é injetivo; portanto f é injetivo. (Não foi pedido, mas é bom lembrar.)

Resposta

f é um homomorfismo de G em G.\n \ker(f)=\{(0,0)\}

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