(2,5) Esboce o gráfico das funções indicadas abaixo. g(x)=\left|x^{2}+2 x\right|
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função g(x)=\left|x^{2}+2x\right|.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A função é dada por g(x)=\left|x^{2}+2x\right|.
O domínio é todos os reais: \mathbb{R}.
Não há imagens no enunciado; tudo que precisamos vem da expressão algébrica.
Passo 2
Vamos entender melhor a expressão dentro do valor absoluto. Escrevo o polinômio de duas formas úteis (fatorada e em completa quadrado).
Fatorando:
x^{2}+2x = x(x+2).
Forma de completar o quadrado:
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1.
Explicação rápida: na fatoração encontramos as raízes; na forma (x+1)^{2}-1 vemos que a parábola original tem vértice em x=-1 e deslocamento vertical de -1.
Passo 3
Encontro as raízes (zeros) da expressão dentro do módulo, resolvendo x^{2}+2x=0. Usando a fatoração:
Esses pontos são onde g(x)=0, porque o valor absoluto de zero é zero.
Passo 4
Encontro o vértice da parábola f(x)=x^{2}+2x. Pela forma de completar o quadrado:
f(x)=(x+1)^{2}-1.
O vértice ocorre em x=-1 e o valor mínimo de f é f(-1)=-1. Como g(x)=|f(x)|, em x=-1 temos:
g(-1)=|f(-1)|=|-1|=1.
Passo 5
Analiso o sinal de f(x)=x^{2}+2x para decidir onde o valor absoluto altera o sinal.
Para x<-2: x(x+2)>0 (ambos fatores negativos ou ambos positivos?), na verdade testando x=-3 obtemos f(-3)=9-6=3>0. Logo f(x)>0 em (-\infty,-2).
Para -2<x<0: testando x=-1 obtemos f(-1)=-1<0. Logo f(x)<0 em (-2,0).
Para x>0: testando x=1 obtemos f(1)=3>0. Logo f(x)>0 em (0,\infty).
Assim, o sinal muda somente nas raízes x=-2 e x=0.
Passo 6
Com base no sinal, escrevo a função g\) em forma piecewise (por partes). Onde \(f(x)\ge 0\) o valor absoluto não altera; onde \(f(x)<0\) o valor absoluto inverte o sinal:
\[g(x)=\begin{cases} x^{2}+2x, & x\in(-\infty,-2]\cup[0,\infty),\\[4pt] -(x^{2}+2x), & x\in[-2,0]. \end{cases}
Observação: nos pontos x=-2\] e \(x=0 ambas as expressões coincidem em 0, logo a função é contínua.]
Passo 7
Interpreto geometricamente cada ramo:
Para x\le -2 e x\ge 0: g(x) é a parábola original para cima x^{2}+2x (abre para cima).
Para -2\le x\le 0: g(x)=-(x^{2}+2x) é a mesma parábola refletida verticalmente nesse intervalo (abre para baixo), formando um “arco” que sobe até x=-1 onde atinge g(-1)=1.
Isso significa que o gráfico é como uma parábola que, entre as raízes -2 e 0, foi virada para cima (na verdade a parte negativa da parábola original foi espelhada para ficar positiva), produzindo um “bump” com máximo 1 em x=-1.
Passo 8
Derivo para ver a inclinação nos pontos de junção e confirmar que há cantos (não é suave nessas junções):
A derivada de f é f'(x)=2x+2.
Para x<-2 (ramo igual a f) a derivada lateral em -2^{-} é f'(-2)= -2.
Para -2<x<0 (ramo igual a -f) a derivada lateral em -2^{+} é -f'(-2)= 2.
Portanto em x=-2 as derivadas laterais são -2 e 2: há um canto (mudança de inclinação). Mesma situação em x=0: derivadas laterais -2 (pela esquerda) e 2 (pela direita). Em x=-1 a derivada do ramo do meio é zero (máximo local nesse arco).
O gráfico é simétrico em relação à reta vertical x=-1 porque g(x) depende de (x+1)^{2}: mais precisamente g(x)=\left|(x+1)^{2}-1\right|, então reflexão em x=-1 preserva o valor.
Passo 10
Como esboçar na prática (passos para o papel):
Marcar os pontos (-2,0), (-1,1), (0,0).
Desenhar a parábola para cima passando por (-2,0) e crescendo para a esquerda (ramo x\le-2).
Desenhar o arco invertido (parábola virada para baixo) entre (-2,0) e (0,0), com máximo em (-1,1).
Desenhar a parábola para cima passando por (0,0) e crescendo para a direita (ramo x\ge0).
Verificar que o gráfico é contínuo, com cantos em -2 e 0, e simétrico em torno de x=-1.