(20pts) 1) Seja \odot a operação sobre \mathbb{R} definida por x \odot y=5 x y. Verifique se essa operação é comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro.

Passo 1

O enunciado dá uma operação \odot sobre \mathbb{R} definida por
x \odot y = 5 x y
para quaisquer x,y \in \mathbb{R}. O que é pedido:
  • Verificar se a operação é comutativa (ou seja, se x \odot y = y \odot x para todo x,y).
  • Verificar se a operação é associativa (ou seja, se (x \odot y)\odot z = x \odot (y \odot z) para todo x,y,z).
  • Verificar se existe elemento neutro e\in\mathbb{R} tal que e\odot x = x e x\odot e = x para todo x.

Passo 2

Definição e teste de comutatividade.
Uma operação \ast é comutativa se vale, para todo x,y,
x \ast y = y \ast x.
Aqui, usando a definição,
x \odot y = 5 x y
e também
y \odot x = 5 y x.
Como a multiplicação usual de números reais é comutativa ( y x = x y), segue que
y \odot x = 5 y x = 5 x y = x \odot y.
Portanto a operação \odot é comutativa. Exemplo numérico rápido: para x=2, y=3,
2\odot3 = 5\cdot2\cdot3 = 30 = 5\cdot3\cdot2 = 3\odot2.

Passo 3

Definição e teste de associatividade.
Uma operação \ast é associativa se vale, para todo x,y,z,
(x\ast y)\ast z = x\ast (y\ast z).
Calculemos ambos os lados usando a definição de \odot.
Primeiro o lado esquerdo:
x \odot y = 5 x y,
então
(x \odot y)\odot z = 5\,(x \odot y)\,z = 5\,(5 x y)\,z = 25\,x y z.
Agora o lado direito:
y \odot z = 5 y z,
então
x \odot (y \odot z) = 5\,x\,(y \odot z) = 5\,x\,(5 y z) = 25\,x y z.
Como os dois lados são iguais para quaisquer x,y,z, temos (x\odot y)\odot z = x\odot(y\odot z). Portanto \odot é associativa. Exemplo numérico: para x=1, y=2, z=3,
(1\odot2)\odot3 = (5\cdot1\cdot2)\odot3 = 10\odot3 = 5\cdot10\cdot3 = 150,
1\odot(2\odot3) = 1\odot(5\cdot2\cdot3) = 1\odot30 = 5\cdot1\cdot30 = 150.

Passo 4

Procura do elemento neutro.
Queremos e\in\mathbb{R} tal que, para todo x,
e\odot x = x \quad\text{e}\quad x\odot e = x.
Como a operação é comutativa, basta resolver uma das igualdades, por exemplo
e\odot x = 5 e x = x.
Essa igualdade deve valer para todo x. Para x\neq 0 podemos dividir por x e obter
5 e = 1 \quad\Rightarrow\quad e = \frac{1}{5}.
Verificação para x=0: 5 e \cdot 0 = 0, que de fato é igual a x=0, então não cria problema. Agora verificar a propriedade em geral:
e\odot x = 5\left(\frac{1}{5}\right)x = 1\cdot x = x,
x\odot e = 5 x \left(\frac{1}{5}\right) = x.
Portanto e=\dfrac{1}{5} é o elemento neutro da operação \odot.

Passo 5

Resumo e interpretação final (rápido e motivador): a operação \odot é como a multiplicação usual multiplicada por uma constante 5. Isso preserva a comutatividade e a associatividade da multiplicação, e o elemento neutro aparece como o recíproco dessa constante, \dfrac{1}{5}. Boa! Agora dá para resolver qualquer questão parecida: se a operação fosse x\star y = c\,xy, o neutro seria \dfrac{1}{c} (quando c\neq 0).

Resposta

Comutativa: sim
Associativa: sim
Elemento neutro: \dfrac{1}{5}

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