(20pts) 1) Seja
a operação sobre
definida por
. Verifique se essa operação é comutativa, se é associativa e se tem elemento neutro.
Passo 1
O enunciado dá uma operação
sobre
definida por
para quaisquer
. O que é pedido:
- Verificar se a operação é comutativa (ou seja, se
para todo ). - Verificar se a operação é associativa (ou seja, se
para todo ). - Verificar se existe elemento neutro
tal que e para todo .
Passo 2
Definição e teste de comutatividade.
Uma operação é comutativa se vale, para todo
,
Uma operação
Aqui, usando a definição,
e também
Como a multiplicação usual de números reais é comutativa (
), segue que
Portanto a operação
é comutativa. Exemplo numérico rápido: para
,
,
Passo 3
Definição e teste de associatividade.
Uma operação é associativa se vale, para todo
,
Uma operação
Calculemos ambos os lados usando a definição de
.
Primeiro o lado esquerdo:
então
Agora o lado direito:
então
Como os dois lados são iguais para quaisquer
, temos
. Portanto
é associativa. Exemplo numérico: para
,
,
,
Passo 4
Procura do elemento neutro.
Queremos tal que, para todo
,
Queremos
Como a operação é comutativa, basta resolver uma das igualdades, por exemplo
Essa igualdade deve valer para todo
. Para
podemos dividir por
e obter
Verificação para
:
, que de fato é igual a
, então não cria problema. Agora verificar a propriedade em geral:
Portanto
é o elemento neutro da operação
.
Passo 5
Resumo e interpretação final (rápido e motivador): a operação
é como a multiplicação usual multiplicada por uma constante
. Isso preserva a comutatividade e a associatividade da multiplicação, e o elemento neutro aparece como o recíproco dessa constante,
. Boa! Agora dá para resolver qualquer questão parecida: se a operação fosse
, o neutro seria
(quando
).
Resposta
Comutativa: sim
Associativa: sim
Elemento neutro:
Associativa: sim
Elemento neutro: