(20pts) 4) Consideremos o grupo G=(\mathbb{R},+) e f: G \longrightarrow G definida por f(x)=|x|. Verifique se f é um homomorfismo de grupos.

Passo 1

O enunciado dá o grupo G=(\mathbb{R},+) (os reais com adição) e a aplicação f:G\to G definida por f(x)=|x|. A tarefa é verificar se f é um homomorfismo de grupos, ou seja, decidir se f preserva a operação do grupo.
Informações relevantes fornecidas:
  • O grupo é G=(\mathbb{R},+).
  • A função é f(x)=|x| para todo x\in\mathbb{R}.
  • O que deve ser verificado: se f(x+y)=f(x)+f(y) para todos x,y\in\mathbb{R}.

Passo 2

Definição prática de homomorfismo no caso de grupos aditivos: uma aplicação \varphi:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R},+) é homomorfismo se, para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y).
Aqui vamos testar essa propriedade para \varphi=f, isto é, verificar se
f(x+y)=f(x)+f(y)
vale para todos x,y.
Vou explicar por que essa condição é a exigida: preservar a operação significa que o resultado de primeiro combinar dois elementos no domínio e depois aplicar f deve ser o mesmo que primeiro aplicar f a cada elemento e depois combinar no contradomínio. No caso aditivo, “combinar” é somar.

Passo 3

Verificação do elemento neutro (checagem rápida, útil mas não suficiente): o neutro em (\mathbb{R},+) é 0. Calculemos
f(0)=|0|=0,
portanto f envia o neutro no neutro — isso é uma propriedade desejável (todo homomorfismo envia neutro em neutro), mas sozinha não garante que f é homomorfismo.

Passo 4

Verificação da condição com inversos: se f fosse homomorfismo, então para todo x deveríamos ter
f(-x)= -f(x),
porque aplicando a definição com y=-x teríamos f(0)=f(x)+f(-x) e como f(0)=0 então f(-x)=-f(x).
Agora calculemos f(-x) para a nossa função:
f(-x)=|-x|=|x|=f(x).
Comparando as duas expressões, a igualdade exigida por um homomorfismo seria f(-x)=-f(x), mas aqui obtemos f(-x)=f(x). Essas duas só coincidem quando f(x)=0, ou seja quando x=0. Isso já sugere falha para x\neq0.

Passo 5

Construção de um contraexemplo concreto (o jeito mais direto de mostrar que não é homomorfismo): escolha x=1 e y=-1. Então
x+y = 1+(-1)=0,
logo
f(x+y)=f(0)=|0|=0.
Por outro lado,
f(x)+f(y)=|1|+|-1|=1+1=2.
Como 0\neq2, a igualdade f(x+y)=f(x)+f(y) falha para esses x,y. Portanto f não preserva a operação para todos os pares — logo não é homomorfismo.

Passo 6

Argumento geral (versão enxuta do contraexemplo): para qualquer a>0 tome x=a e y=-a. Então x+y=0 e
f(x+y)=f(0)=0, \qquad f(x)+f(y)=|a|+|-a|=a+a=2a>0.
Assim sempre que a>0 a propriedade falha. Isso mostra de forma geral que f não é homomorfismo.

Passo 7

Comentário adicional didático (para fixar): a razão intuitiva é que |\cdot| “perde o sinal” — torna positivos negativos em positivos — enquanto um homomorfismo aditivo deve respeitar sinais de soma (por exemplo, somar algo com seu inverso tem de dar zero depois de aplicar f). A perda do sinal impede que |\cdot| preserve a operação de soma, salvo no caso trivial x=0.

Resposta

Não — f não é um homomorfismo de grupos.

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