(20pts) 4) Consideremos o grupo
e
definida por
. Verifique se
é um homomorfismo de grupos.
Passo 1
O enunciado dá o grupo
(os reais com adição) e a aplicação
definida por
. A tarefa é verificar se
é um homomorfismo de grupos, ou seja, decidir se
preserva a operação do grupo.
Informações relevantes fornecidas:
- O grupo é
. - A função é
para todo . - O que deve ser verificado: se
para todos .
Passo 2
Definição prática de homomorfismo no caso de grupos aditivos: uma aplicação
é homomorfismo se, para quaisquer
,
Aqui vamos testar essa propriedade para
, isto é, verificar se
vale para todos
.
Vou explicar por que essa condição é a exigida: preservar a operação significa que o resultado de primeiro combinar dois elementos no domínio e depois aplicar
deve ser o mesmo que primeiro aplicar
a cada elemento e depois combinar no contradomínio. No caso aditivo, “combinar” é somar.
Passo 3
Verificação do elemento neutro (checagem rápida, útil mas não suficiente): o neutro em
é
. Calculemos
portanto
envia o neutro no neutro — isso é uma propriedade desejável (todo homomorfismo envia neutro em neutro), mas sozinha não garante que
é homomorfismo.
Passo 4
Verificação da condição com inversos: se
fosse homomorfismo, então para todo
deveríamos ter
porque aplicando a definição com
teríamos
e como
então
.
Agora calculemos
para a nossa função:
Comparando as duas expressões, a igualdade exigida por um homomorfismo seria
, mas aqui obtemos
. Essas duas só coincidem quando
, ou seja quando
. Isso já sugere falha para
.
Passo 5
Construção de um contraexemplo concreto (o jeito mais direto de mostrar que não é homomorfismo): escolha
e
. Então
logo
Por outro lado,
Como
, a igualdade
falha para esses
. Portanto
não preserva a operação para todos os pares — logo não é homomorfismo.
Passo 6
Argumento geral (versão enxuta do contraexemplo): para qualquer
tome
e
. Então
e
Assim sempre que
a propriedade falha. Isso mostra de forma geral que
não é homomorfismo.
Passo 7
Comentário adicional didático (para fixar): a razão intuitiva é que
“perde o sinal” — torna positivos negativos em positivos — enquanto um homomorfismo aditivo deve respeitar sinais de soma (por exemplo, somar algo com seu inverso tem de dar zero depois de aplicar
). A perda do sinal impede que
preserve a operação de soma, salvo no caso trivial
.
Resposta
Não —
não é um homomorfismo de grupos.