(20pts) 5) Determine x \in S_{5} que seja solução da equação a^{2} x b^{-1}=c, onde a=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right)
Observação importante sobre a: a notação de a foi dada apenas para 1,2,3,4 no enunciado; para completar um elemento de S_5 é preciso a imagem de 5. Como as imagens listadas (4,5,1,2) deixam o valor 3 sem pré-imagem, deduz-se que a(5)=3. Portanto, a em S_5 é a permutação que manda
O objetivo do problema é encontrar explicitamente x.]
Passo 2
Estratégia de solução (a ideia algebraica, sem computações ainda).
Queremos isolar x na equação a^{2} x b^{-1}=c. No grupo S_5 podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de a^{2} pela esquerda e por b pela direita (lembre: a multiplicação de permutações aqui será a composição; para um produto pq aplicamos primeiro q e depois p). Assim obtemos a fórmula direta para x:
x=(a^{2})^{-1}\, c\, b.
Na prática, isso significa que, para cada elemento i\in\{1,\dots,5\},
x(i) = (a^{2})^{-1}\!\big( c\big( b(i)\big)\big).
Agora vamos calcular passo a passo cada peça: a^{2}, (a^{2})^{-1}, b (já dado) e c, e então aplicar a fórmula acima para cada i.
Passo 3
Calcular a como ciclo e a^{2}.
Usei a informação de a do Passo 1: a envia 1\mapsto4, 4\mapsto2, 2\mapsto5, 5\mapsto3, 3\mapsto1. Isso é o ciclo de comprimento 5
a=(1\;4\;2\;5\;3).
Para calcular a^{2} basta aplicar a duas vezes; elevando o ciclo ao quadrado obtemos outro 5-ciclo:
logo b(1)=1,\\ b(2)=2,\\ b(3)=4,\\ b(4)=3,\\ b(5)=5. Observação: b é a transposição (3\;4), e portanto b^{-1}=b, mas na fórmula final precisamos de b mesmo conforme derivado.]
Passo 5
Calcular x=(a^{2})^{-1}\, c\, b avaliando em cada elemento i\in\{1,\dots,5\}.
Vou aplicar para cada i a composição i \xrightarrow{\,b\,} b(i) \xrightarrow{\,c\,} c(b(i)) \xrightarrow{(a^{2})^{-1}} (a^{2})^{-1}\big(c(b(i))\big). Faço as contas explícitas:
Para i=1:
b(1)=1,\qquad c(1)=5,\qquad (a^{2})^{-1}(5)=4.
Logo x(1)=4.
Para i=2:
b(2)=2,\qquad c(2)=4,\qquad (a^{2})^{-1}(4)=3.
Logo x(2)=3.
Para i=3:
b(3)=4,\qquad c(4)=1,\qquad (a^{2})^{-1}(1)=5.
Logo x(3)=5.
Para i=4:
b(4)=3,\qquad c(3)=3,\qquad (a^{2})^{-1}(3)=2.
Logo x(4)=2.
Para i=5:
b(5)=5,\qquad c(5)=2,\qquad (a^{2})^{-1}(2)=1.
Logo x(5)=1.
Passo 6
Reunir o resultado final e dar uma forma compacta.