(20pts) 5) Determine x \in S_{5} que seja solução da equação a^{2} x b^{-1}=c, onde a=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right)
b=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 4 & 3 & 5 \end{array}\right) \text { e } c=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar x\in S_{5} que seja solução da equação a^{2} x b^{-1}=c.”
As informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
a=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\[4pt] 4 & 5 & 1 & 2 \end{array}\right), \qquad b=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 3 & 5 \end{array}\right), \qquad c=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}\right).
Observação importante sobre a: a notação de a foi dada apenas para 1,2,3,4 no enunciado; para completar um elemento de S_5 é preciso a imagem de 5. Como as imagens listadas (4,5,1,2) deixam o valor 3 sem pré-imagem, deduz-se que a(5)=3. Portanto, a em S_5 é a permutação que manda
1\mapsto4,\quad 2\mapsto5,\quad 3\mapsto1,\quad 4\mapsto2,\quad 5\mapsto3.
O objetivo do problema é encontrar explicitamente x.]

Passo 2

Estratégia de solução (a ideia algebraica, sem computações ainda).
Queremos isolar x na equação a^{2} x b^{-1}=c. No grupo S_5 podemos multiplicar ambos os lados pela inversa de a^{2} pela esquerda e por b pela direita (lembre: a multiplicação de permutações aqui será a composição; para um produto pq aplicamos primeiro q e depois p). Assim obtemos a fórmula direta para x:
x=(a^{2})^{-1}\, c\, b.
Na prática, isso significa que, para cada elemento i\in\{1,\dots,5\},
x(i) = (a^{2})^{-1}\!\big( c\big( b(i)\big)\big).
Agora vamos calcular passo a passo cada peça: a^{2}, (a^{2})^{-1}, b (já dado) e c, e então aplicar a fórmula acima para cada i.

Passo 3

Calcular a como ciclo e a^{2}.
Usei a informação de a do Passo 1: a envia 1\mapsto4, 4\mapsto2, 2\mapsto5, 5\mapsto3, 3\mapsto1. Isso é o ciclo de comprimento 5
a=(1\;4\;2\;5\;3).
Para calcular a^{2} basta aplicar a duas vezes; elevando o ciclo ao quadrado obtemos outro 5-ciclo:
a^{2}=(1\;4\;2\;5\;3)^{2}=(1\;2\;3\;4\;5).
Em notação de imagem (duas linhas), a^{2} é
a^{2}=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{array}\right).]

Passo 4

Calcular (a^{2})^{-1} e b explicitamente.
O inverso de um ciclo reverso a ordem: para a^{2}=(1\;2\;3\;4\;5) tem-se
(a^{2})^{-1}=(1\;5\;4\;3\;2).
Em notação de imagem,
(a^{2})^{-1}=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right),
ou seja as imagens são (a^{2})^{-1}(1)=5, (a^{2})^{-1}(2)=1, (a^{2})^{-1}(3)=2, (a^{2})^{-1}(4)=3, (a^{2})^{-1}(5)=4.
b (peguei do enunciado) é
b=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 3 & 5 \end{array}\right),
logo b(1)=1,\\ b(2)=2,\\ b(3)=4,\\ b(4)=3,\\ b(5)=5. Observação: b é a transposição (3\;4), e portanto b^{-1}=b, mas na fórmula final precisamos de b mesmo conforme derivado.]

Passo 5

Calcular x=(a^{2})^{-1}\, c\, b avaliando em cada elemento i\in\{1,\dots,5\}.
Vou aplicar para cada i a composição i \xrightarrow{\,b\,} b(i) \xrightarrow{\,c\,} c(b(i)) \xrightarrow{(a^{2})^{-1}} (a^{2})^{-1}\big(c(b(i))\big). Faço as contas explícitas:
  • Para i=1:
    b(1)=1,\qquad c(1)=5,\qquad (a^{2})^{-1}(5)=4.
    Logo x(1)=4.
  • Para i=2:
    b(2)=2,\qquad c(2)=4,\qquad (a^{2})^{-1}(4)=3.
    Logo x(2)=3.
  • Para i=3:
    b(3)=4,\qquad c(4)=1,\qquad (a^{2})^{-1}(1)=5.
    Logo x(3)=5.
  • Para i=4:
    b(4)=3,\qquad c(3)=3,\qquad (a^{2})^{-1}(3)=2.
    Logo x(4)=2.
  • Para i=5:
    b(5)=5,\qquad c(5)=2,\qquad (a^{2})^{-1}(2)=1.
    Logo x(5)=1.

Passo 6

Reunir o resultado final e dar uma forma compacta.
Das imagens obtidas temos a permutação x dada por
x=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 4 & 3 & 5 & 2 & 1 \end{array}\right).
Em notação de ciclo isso é o 5-ciclo
x=(1\;4\;2\;3\;5).]

Resposta

x=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 4 & 3 & 5 & 2 & 1 \end{array}\right)]

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