Considere o problema:
{ }_{\text {Max } Z}=3 x_{1}+2 x_{2}
Sujeito a:
\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2} \leq 4
2 x_{1}+x_{2} \leq 6
\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \geq 0
Qual é a solução ótima pelo método simplex?
Escolha uma opção:
(a) x_{1}=2, x_{2}=2, Z=10
b. x_{1}=3, x_{2}=0, Z=9
c. x_{1}=0, x_{2}=4, Z=8
d. x_{1}=1, x_{2}=3, Z=9

Passo 1

O enunciado dá um problema de programação linear e pede a solução ótima usando o método simplex. Dados fornecidos:
  • Função objetivo a maximizar: \mathrm{Max}\\ Z = 3x_{1} + 2x_{2}\). - Restrições: \[\begin{cases} x_{1} + x_{2} \le 4,\\[4pt] 2x_{1} + x_{2} \le 6,\\[4pt] x_{1},x_{2} \ge 0. \end{cases}
O que se pede: encontrar a solução ótima (x_{1},x_{2})\] e o valor ótimo \(Z, usando simplex, e então escolher a opção correta entre:
(a) x_{1}=2, x_{2}=2, Z=10
(b) x_{1}=3, x_{2}=0, Z=9
(c) x_{1}=0, x_{2}=4, Z=8
(d) x_{1}=1, x_{2}=3, Z=9.]

Passo 2

Transformar para a forma padrão adicionando variáveis de folga (slack) s_{1},s_{2}\ge0\) para as duas desigualdades. As equações ficam: \[\begin{cases} x_{1} + x_{2} + s_{1} = 4,\\[4pt] 2x_{1} + x_{2} + s_{2} = 6,\\[4pt] x_{1},x_{2},s_{1},s_{2} \ge 0. \end{cases}
A função objetivo em forma de equação para usar no tableau é
Z - 3x_{1} - 2x_{2} = 0.
As variáveis básicas iniciais são s_{1}\] e \(s_{2} (com x_{1}=x_{2}=0 inicialmente).]

Passo 3

Montar o tableau simplex inicial. Colunas na ordem x_{1},x_{2},s_{1},s_{2} e RHS (termos independentes):
\begin{array}{c|cccc|c} \text{VB} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & \text{RHS} \\\ \hline s_{1} & 1 & 1 & 1 & 0 & 4\\[4pt] s_{2} & 2 & 1 & 0 & 1 & 6\\[4pt] \hline Z & -3 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{array}
Explicação curta: nas linhas de restrição aparecem os coeficientes das variáveis; na linha Z colocamos os coeficientes negativos da função objetivo (critério de escolha da variável a entrar na base: coluna com coeficiente mais negativo).]

Passo 4

Escolher a variável que entra na base. Regra simples: escolher a coluna com coeficiente mais negativo na linha Z. Aqui os coeficientes são -3 para x_{1} e -2 para x_{2}. O mais negativo é -3, então x_{1} entra na base.
Agora aplicar o teste da razão (ratio test) para escolher a linha que sai da base: dividir RHS pelo coeficiente positivo da coluna de x_{1}:
\text{Para } s_{1}:\\ \frac{4}{1}=4,\qquad \text{Para } s_{2}:\\ \frac{6}{2}=3.
A menor razão é 3, então a linha de s_{2} é a linha pivô. O elemento pivô é 2 (coeficiente de x_{1} na linha de s_{2}).

Passo 5

Fazer a operação de pivoteamento para trazer x_{1} para a base. Primeiro, normalizar a linha pivô dividindo-a por 2:
\text{nova }(\text{linha }s_{2}) = \frac{1}{2}\times [\,2\;\;1\;\;0\;\;1\mid 6\,] = [\,1\;\;0{,}5\;\;0\;\;0{,}5\mid 3\,].
Em seguida eliminar x_{1} das outras linhas usando a nova linha pivô:
  • Atualizar s_{1} \leftarrow s_{1} - 1\times(\text{nova }s_{2}): [\,1\;1\;1\;0\mid4\,] - [\,1\;0{,}5\;0\;0{,}5\mid3\,] = [\,0\;0{,}5\;1\;-0{,}5\mid1\,].
  • Atualizar linha Z \leftarrow Z + 3\times(\text{nova }s_{2}) para eliminar -3 em x_{1}: [\,-3\;-2\;0\;0\mid0\,] + 3\cdot[\,1\;0{,}5\;0\;0{,}5\mid3\,] = [\,0\;-0{,}5\;0\;1{,}5\mid9\,].
O tableau fica:
\begin{array}{c|cccc|c} \text{VB} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & \text{RHS} \\\ \hline s_{1} & 0 & 0{,}5 & 1 & -0{,}5 & 1\\[4pt] x_{1} & 1 & 0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 3\\[4pt] \hline Z & 0 & -0{,}5 & 0 & 1{,}5 & 9 \end{array}
Observação: trocou-se s_{2} por x_{1} na base (por isso a linha x_{1} aparece).]

Passo 6

Verificar a linha Z novamente para ver se há coeficientes negativos (ainda não ótimo se houver). A linha Z tem coeficiente -0{,}5 na coluna x_{2}, logo ainda há potencial de melhoria; portanto x_{2} entra na base agora.
Fazer o teste da razão na coluna de x_{2} (usar apenas coeficientes positivos):
\text{Para } s_{1}:\\ \frac{1}{0{,}5}=2,\qquad \text{Para } x_{1}:\\ \frac{3}{0{,}5}=6.
A menor razão é 2, portanto a linha de s_{1} é a linha pivô agora. O elemento pivô é 0{,}5 (coeficiente de x_{2} em s_{1}).

Passo 7

Pivoteamento para trazer x_{2} para a base. Normalizar a linha pivô dividindo por 0{,}5:
\text{nova }(\text{linha }s_{1}) = \frac{1}{0{,}5}\times[\,0\;0{,}5\;1\;-0{,}5\mid1\,] = [\,0\;1\;2\;-1\mid2\,].
Agora eliminar x_{2} das outras linhas:
  • Atualizar linha x_{1} \leftarrow x_{1} - 0{,}5\times(\text{nova }s_{1}): [\,1\;0{,}5\;0\;0{,}5\mid3\,] - 0{,}5\cdot[\,0\;1\;2\;-1\mid2\,] = [\,1\;0\; -1\;1\mid 2\,].
  • Atualizar linha Z \leftarrow Z + 0{,}5\times(\text{nova }s_{1}) para eliminar -0{,}5 em x_{2}: [\,0\;-0{,}5\;0\;1{,}5\mid9\,] + 0{,}5\cdot[\,0\;1\;2\;-1\mid2\,] = [\,0\;0\;1\;1\mid10\,].
O tableau final é:
\begin{array}{c|cccc|c} \text{VB} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & \text{RHS} \\\ \hline x_{2} & 0 & 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] x_{1} & 1 & 0 & -1 & 1 & 2\\[4pt] \hline Z & 0 & 0 & 1 & 1 & 10 \end{array}]

Passo 8

Interpretar o tableau final. As variáveis básicas e seus valores (RHS) são:
  • x_{2} = 2 (da linha x_{2}),
  • x_{1} = 2 (da linha x_{1}).
As variáveis não-básicas aqui são s_{1} e s_{2}; tomando s_{1}=s_{2}=0 (solução básica) obtemos os valores acima. A linha Z agora não tem coeficientes negativos nas colunas das variáveis originais x_{1},x_{2}, portanto a solução é ótima.
Calcular o valor ótimo da função objetivo:
Z = 3x_{1} + 2x_{2} = 3\cdot 2 + 2\cdot 2 = 6 + 4 = 10.

Passo 9

Resumo e verificação rápida: a solução viável e ótima encontrada pelo simplex é x_{1}=2,\\ x_{2}=2 com Z=10. Conferir que as restrições são satisfeitas:
x_{1}+x_{2}=2+2=4\le4,\qquad 2x_{1}+x_{2}=4+2=6\le6,
tudo compatível. Portanto a opção correta entre as dadas é a (a).

Resposta

(a) x_{1}=2,\\ x_{2}=2,\\ Z=10

Exercícios relacionados