Si: " m " y " n " son dos números enteros mayores que 2 y x>0, simplificar la siguiente expresión:
\underbrace{\sqrt[m]{\sqrt[m]{\ldots \sqrt[m]{\frac{m-1}{x}}}}}_{(n+1) \text { veces }} \cdot \underbrace{\sqrt[m]{x} \cdot \sqrt[m]{x \ldots \sqrt[m]{x}}}_{\text {"n" veces }}

Passo 1

Voy a dejar claro qué pide el problema y qué datos nos da.
  • Datos: \,m y \,n son enteros mayores que 2 y \,x>0.
  • Se nos da la expresión
\underbrace{\sqrt[m]{\sqrt[m]{\ldots \sqrt[m]{\frac{m-1}{x}}}}}_{(n+1)\text{ veces }} \cdot \underbrace{\sqrt[m]{x}\cdot \sqrt[m]{x}\ldots \sqrt[m]{x}}_{n\text{ veces}}.
  • Pregunta: simplificar esa expresión (es decir, dejarla en una forma más compacta y con potencias, si es posible).

Passo 2

Regla clave que vamos a usar (explicada paso a paso):
  • Para cualquier número positivo a y entero m\ge 2 vale \displaystyle \sqrt[m]{a}=a^{1/m}. Aquí la raíz enésima se convierte en potencia con exponente \tfrac{1}{m}.
  • Si aplico dos veces la raíz m-ésima, por exemplo \sqrt[m]{\sqrt[m]{a}}, eso es \big(a^{1/m}\big)^{1/m}=a^{(1/m)\cdot(1/m)}=a^{1/m^{2}}.
  • En general, si aplico la raíz m-ésima k veces a a, el resultado es a^{(1/m)^{k}}=a^{1/m^{k}}.
    Ejemplo pequeño: aplicar dos veces la raíz cúbica ( m=3) a a da a^{1/3^2}=a^{1/9}.

Passo 3

Aplicando la regla anterior al primer factor (la raíz anidada (n+1) veces):
  • Tomo a=\dfrac{m-1}{x} y aplico la raíz m-ésima (n+1) veces, por lo que ese primer factor es
\left(\frac{m-1}{x}\right)^{1/m^{\,n+1}}.
Escribo esto descomponiendo en factores si lo prefieres:
\left(\frac{m-1}{x}\right)^{1/m^{\,n+1}}=(m-1)^{1/m^{\,n+1}}\cdot x^{-1/m^{\,n+1}}.

Passo 4

Ahora simplifico el segundo factor (producto de n copias de \sqrt[m]{x}):
  • Cada \sqrt[m]{x}=x^{1/m}.
  • El producto de n copias es (x^{1/m})^{n}=x^{n/m}.

Passo 5

Multiplico ambos resultados y uso las leyes de exponentes:
  • Producto total
\left(\frac{m-1}{x}\right)^{1/m^{\,n+1}}\cdot x^{n/m} = (m-1)^{1/m^{\,n+1}}\cdot x^{-1/m^{\,n+1}}\cdot x^{n/m}.
  • Al juntar las potencias de x sumo los exponentes:
-\,\frac{1}{m^{\,n+1}}+\frac{n}{m}=\frac{n}{m}-\frac{1}{m^{\,n+1}}.
  • Para obtener una única fracción con denominador m^{\,n+1} escribo \dfrac{n}{m}=\dfrac{n m^{\,n}}{m^{\,n+1}}. Así
\frac{n}{m}-\frac{1}{m^{\,n+1}}=\frac{n m^{\,n}-1}{m^{\,n+1}}.

Passo 6

Reuniendo todo lo anterior, la expresión simplificada es
(m-1)^{1/m^{\,n+1}}\cdot x^{\frac{n m^{\,n}-1}{m^{\,n+1}}}.

Resposta

(m-1)^{1/m^{\,n+1}}\;x^{\frac{n m^{\,n}-1}{m^{\,n+1}}}

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