Si: " m " y " n " son dos números enteros mayores que 2 y x>0, simplificar la siguiente expresión:
\underbrace{\sqrt[m]{\sqrt[m]{\ldots \sqrt[m]{\frac{m-1}{x}}}}}_{(n+1) \text { veces }} \cdot \underbrace{\sqrt[m]{x} \cdot \sqrt[m]{x \ldots \sqrt[m]{x}}}_{\text {"n" veces }}
Passo 1
Voy a dejar claro qué pide el problema y qué datos nos da.
Datos: \,m y \,n son enteros mayores que 2 y \,x>0.
Se nos da la expresión
\underbrace{\sqrt[m]{\sqrt[m]{\ldots \sqrt[m]{\frac{m-1}{x}}}}}_{(n+1)\text{ veces }} \cdot \underbrace{\sqrt[m]{x}\cdot \sqrt[m]{x}\ldots \sqrt[m]{x}}_{n\text{ veces}}.
Pregunta: simplificar esa expresión (es decir, dejarla en una forma más compacta y con potencias, si es posible).
Passo 2
Regla clave que vamos a usar (explicada paso a paso):
Para cualquier número positivo a y entero m\ge 2 vale \displaystyle \sqrt[m]{a}=a^{1/m}. Aquí la raíz enésima se convierte en potencia con exponente \tfrac{1}{m}.
Si aplico dos veces la raíz m-ésima, por exemplo \sqrt[m]{\sqrt[m]{a}}, eso es \big(a^{1/m}\big)^{1/m}=a^{(1/m)\cdot(1/m)}=a^{1/m^{2}}.
En general, si aplico la raíz m-ésima k veces a a, el resultado es a^{(1/m)^{k}}=a^{1/m^{k}}.
Ejemplo pequeño: aplicar dos veces la raíz cúbica (m=3) a a da a^{1/3^2}=a^{1/9}.
Passo 3
Aplicando la regla anterior al primer factor (la raíz anidada (n+1) veces):
Tomo a=\dfrac{m-1}{x} y aplico la raíz m-ésima (n+1) veces, por lo que ese primer factor es
\left(\frac{m-1}{x}\right)^{1/m^{\,n+1}}.
Escribo esto descomponiendo en factores si lo prefieres: