(20pts) 3) Seja H=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}1 & x \\\ x & 0\end{array}\right] \right\rvert\, x \in \mathbb{R}\right\}. Verifique se H é um subgrupo de G=\left(M_{2 \times 2}(\mathbb{R}),+\right).
Passo 1
O enunciado dá o grupo aditivo G=\big(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\big) (matrizes 2\times2 reais com adição) e o subconjunto
H=\left\{\left.\begin{pmatrix}1 & x \\[4pt] x & 0\end{pmatrix}\right\rvert\, x\in\mathbb{R}\right\}.
A pergunta é: verificar se H é um subgrupo de G. Ou seja, determinar se H satisfaz as propriedades necessárias para ser subgrupo de \big(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\big).]
Passo 2
Recapitulando a teoria (do jeito simples): para um conjunto H ser subgrupo de (G,+) basta verificar uma destas formas equivalentes (vou usar a forma direta, bem prática):
H contém o elemento neutro do grupo G (no grupo aditivo, o neutro é a matriz nula \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix});
H é fechado sob adição: se A,B\in H então A+B\in H;
H é fechado sob inversos aditivos: se A\in H então -A\in H.
Um teste rápido alternativo: um subconjunto não vazio H é subgrupo se, para todos A,B\in H, tem-se A-B\in H. Vou usar a versão direta (neutro, soma, inverso) porque é a mais intuitiva quando se trabalha com matrizes.
Exemplo curto para fixar: o conjunto 2\mathbb{Z} é subgrupo de (\mathbb{Z},+) porque contém 0, é fechado em soma e contém inversos (o inverso de 2k é -2k).]
Passo 3
Verificação do elemento neutro: perguntar se existe x\in\mathbb{R} tal que
\begin{pmatrix}1 & x \\[4pt] x & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Comparando entradas obtém-se a equação 1=0, o que é impossível. Portanto a matriz nula \mathbf{0} NÃO pertence a H.]
Passo 4
Interpretação do passo anterior: como o neutro do grupo \big(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\big) não está em H, já sabemos que H não pode ser subgrupo (um subgrupo deve obrigatoriamente conter o neutro). Vou ainda dar mais evidências mostrando que outras propriedades falham também — isso ajuda a entender o porquê e é útil na prova.
Passo 5
Fechamento por soma (exemplo direto): para x,y\in\mathbb{R} escreva
\begin{pmatrix}1 & x \\[4pt] x & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & y \\[4pt] y & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & x+y \\[4pt] x+y & 0\end{pmatrix}.
Uma matriz da forma acima pertence a H somente se sua entrada (1,1) for 1. Aqui a entrada (1,1) é 2, então a soma não está em H. Logo H não é fechado sob adição.]
Passo 6
Fechamento por inversos: para x\in\mathbb{R},
-\begin{pmatrix}1 & x \\[4pt] x & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -x \\[4pt] -x & 0\end{pmatrix}.
Essa matriz só estaria em H se sua entrada (1,1) fosse 1, mas aqui é -1. Logo, em geral -A\notin H para A\in H; H não contém os inversos aditivos dos seus elementos.]
Passo 7
Resumo das verificações: o neutro não pertence a H; H não é fechado sob soma; H não contém inversos aditivos. Essas falhas mostram de formas diferentes que H não satisfaz as condições para ser subgrupo de \big(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\big).
Resposta
Não, H não é subgrupo de G (o neutro \mathbf{0} não pertence a H; além disso H não é fechado sob adição nem contém inversos aditivos).