(20pts) 5) Seja \sigma a seguinte permutação de S_{10} :
\sigma=\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\\ 8 & 7 & 5 & 9 & 4 & 10 & 2 & 6 & 3 & 1 \end{array}\right) .
Calcule a ordem de \sigma e a potência \sigma^{2025}.

Passo 1

O enunciado dá a permutação \sigma em S_{10} escrita em forma de duas linhas:
\sigma=\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\\ 8 & 7 & 5 & 9 & 4 & 10 & 2 & 6 & 3 & 1 \end{array}\right).
O que se pede:
  • calcular a ordem de \sigma;
  • calcular \sigma^{2025}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A imagem (texto) dá a ação de \sigma sobre cada i\in\{1,\dots,10\}. Por exemplo, \sigma(1)=8, \sigma(2)=7, \sigma(3)=5, etc.

Passo 2

Vou reescrever explicitamente a ação de \sigma elemento a elemento (isso ajuda a montar os ciclos):
\begin{aligned} \sigma(1)&=8, &\sigma(8)&=6, &\sigma(6)&=10, &\sigma(10)&=1,\\\ \sigma(2)&=7, &\sigma(7)&=2,\\\ \sigma(3)&=5, &\sigma(5)&=4, &\sigma(4)&=9, &\sigma(9)&=3. \end{aligned}
Estas igualdades vêm diretamente da segunda linha da permutação.

Passo 3

Agora constrói-se a decomposição em ciclos seguindo cada elemento até voltar ao ponto de partida.
  • Começando por 1: 1\mapsto 8\mapsto 6\mapsto 10\mapsto 1. Logo temos o ciclo \, (1\,8\,6\,10)\,, que tem comprimento 4.
  • Elementos do ciclo anterior são \{1,8,6,10\}. Próximo elemento não usado é 2:
    2\mapsto7\mapsto2. Isso dá o ciclo \,(2\,7)\,, de comprimento 2.
  • Próximo não usado é 3:
    3\mapsto5\mapsto4\mapsto9\mapsto3. Isso dá o ciclo \,(3\,5\,4\,9)\,, de comprimento 4.
Assim a permutação se decompõe em ciclos disjuntos:
\sigma=(1\,8\,6\,10)(2\,7)(3\,5\,4\,9).

Passo 4

Explicação conceitual sobre ordem de uma permutação:
  • A ordem de uma permutação é o menor inteiro positivo m tal que \sigma^{m} é a identidade.
  • Para ciclos disjuntos, a ordem da permutação é o mínimo múltiplo comum (MMC, ou \operatorname{lcm}) dos comprimentos dos ciclos.
Aqui os comprimentos são 4, 2 e 4. Então
\operatorname{ord}(\sigma)=\operatorname{lcm}(4,2,4).
Calculemos \operatorname{lcm}(4,2,4). Como 4 é múltiplo de 2, o MMC é 4. Portanto
\operatorname{ord}(\sigma)=4.

Passo 5

Como a ordem é 4, potências de \sigma repetem a cada 4. Para calcular \sigma^{2025} reduzimos o expoente módulo 4.
Compute 2025 módulo 4:
2025 \div 4 = 506\\ \text{com resto}\\\ 1,
pois 4\cdot506=2024. Logo
2025\equiv1\pmod{4}.
Isso implica \sigma^{2025}=\sigma^{1}=\sigma.
Explicando por ciclos (forma prática): elevar uma permutação a uma potência k desloca cada ciclo de comprimento r em k posições ao longo do ciclo; como 2025\equiv1\pmod{4}, em cada ciclo de comprimento 4 a deslocação é 1 posição (igual a \sigma), e no ciclo de comprimento 2 também 2025\equiv1\pmod{2} dá deslocação de 1 posição (igual a \sigma). Portanto a potência é exatamente \sigma.

Passo 6

Apresentando \sigma^{2025} nas duas formas usuais:
  • Forma de ciclos (como \sigma mesma):
\sigma^{2025}=(1\,8\,6\,10)(2\,7)(3\,5\,4\,9).
  • Forma de duas linhas (idêntica à dada no enunciado):
\sigma^{2025}=\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\\ 8 & 7 & 5 & 9 & 4 & 10 & 2 & 6 & 3 & 1 \end{array}\right).

Resposta

\operatorname{ord}(\sigma)=4
\sigma^{2025}=\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\\ 8 & 7 & 5 & 9 & 4 & 10 & 2 & 6 & 3 & 1 \end{array}\right)

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