Calculemos \operatorname{lcm}(4,2,4). Como 4 é múltiplo de 2, o MMC é 4. Portanto
\operatorname{ord}(\sigma)=4.
Passo 5
Como a ordem é 4, potências de \sigma repetem a cada 4. Para calcular \sigma^{2025} reduzimos o expoente módulo 4.
Compute 2025 módulo 4:
2025 \div 4 = 506\\ \text{com resto}\\\ 1,
pois 4\cdot506=2024. Logo
2025\equiv1\pmod{4}.
Isso implica \sigma^{2025}=\sigma^{1}=\sigma.
Explicando por ciclos (forma prática): elevar uma permutação a uma potência k desloca cada ciclo de comprimento r em k posições ao longo do ciclo; como 2025\equiv1\pmod{4}, em cada ciclo de comprimento 4 a deslocação é 1 posição (igual a \sigma), e no ciclo de comprimento 2 também 2025\equiv1\pmod{2} dá deslocação de 1 posição (igual a \sigma). Portanto a potência é exatamente \sigma.
Passo 6
Apresentando \sigma^{2025} nas duas formas usuais:
Forma de ciclos (como \sigma mesma):
\sigma^{2025}=(1\,8\,6\,10)(2\,7)(3\,5\,4\,9).
Forma de duas linhas (idêntica à dada no enunciado):