(3,0) Calcule os limites indicados abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6 x^{3}+8 x+4}{2 x^{3}+100 x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{6x^{3}+8x+4}{2x^{3}+100x^{2}+3}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é uma fração racional com polinômios no numerador e no denominador.
  • O limite é quando x tende para +\infty.
  • Dados relevantes extraídos do enunciado:
    • Grau do numerador: 3, coeficiente líder 6.
    • Grau do denominador: 3, coeficiente líder 2.
      O objetivo é encontrar o valor do limite quando x cresce sem limite positivo.

Passo 2

Idéia do método (explicação didática):
  • Para limites em x\to\pm\infty de funções racionais (razão de polinômios), os termos de maior grau dominam o comportamento da função, porque os termos com potências menores crescem muito mais devagar.
  • Uma forma algébrica segura e padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui x^{3}). Isso torna explícito quais termos tendem a zero quando x\to+\infty.
  • Também usamos propriedades básicas de limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M},
e se k>0 então \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.

Passo 3

Aplicando o método: dividir numerador e denominador por x^{3}. Escrevo a expressão como
\frac{6x^{3}+8x+4}{2x^{3}+100x^{2}+3} = \frac{x^{3}\!\left(6+\dfrac{8x}{x^{3}}+\dfrac{4}{x^{3}}\right)}{x^{3}\!\left(2+\dfrac{100x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{3}{x^{3}}\right)}.
Simplificando as divisões dentro dos parênteses (dividindo potências):
= \frac{6+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{4}{x^{3}}}{2+\dfrac{100}{x}+\dfrac{3}{x^{3}}}.

Passo 4

Análise dos termos que aparecem:
  • Para x\to +\infty vale \dfrac{1}{x}\to 0, e portanto \dfrac{1}{x^{2}}\to 0,\\ \dfrac{1}{x^{3}}\to 0.
  • Logo
\lim_{x\to +\infty}\left(6+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{4}{x^{3}}\right)=6 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to +\infty}\left(2+\dfrac{100}{x}+\dfrac{3}{x^{3}}\right)=2.
  • O limite do denominador é 2, que é diferente de zero, então podemos aplicar a propriedade do quociente de limites.

Passo 5

Aplicando a propriedade do quociente:
\lim_{x\to +\infty} \frac{6+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{4}{x^{3}}}{2+\dfrac{100}{x}+\dfrac{3}{x^{3}}} = \frac{6}{2}=3.
Interpretação curta: como os dois polinômios têm o mesmo grau ( 3), o limite é simplesmente a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau (coeficiente líder do numerador sobre coeficiente líder do denominador), isto é \dfrac{6}{2}=3.

Passo 6

Dica prática para prova (resumo):
  • Se grau do numerador = grau do denominador: limite é razão dos coeficientes líderes.
  • Se grau do numerador < grau do denominador: limite é 0.
  • Se grau do numerador > grau do denominador: limite é \pm\infty (verificar sinal).
    Bônus exemplo rápido: \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^{2}+1}{x^{2}-5}=3 (mesmo grau, razão 3/1).

Resposta

3

Exercícios relacionados