(3,0) Calcule os limites indicados abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é uma fração racional com polinômios no numerador e no denominador.
- O limite é quando
tende para . - Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Grau do numerador:
, coeficiente líder . - Grau do denominador:
, coeficiente líder .
O objetivo é encontrar o valor do limite quandocresce sem limite positivo.
- Grau do numerador:
Passo 2
Idéia do método (explicação didática):
- Para limites em
de funções racionais (razão de polinômios), os termos de maior grau dominam o comportamento da função, porque os termos com potências menores crescem muito mais devagar. - Uma forma algébrica segura e padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui ). Isso torna explícito quais termos tendem a zero quando . - Também usamos propriedades básicas de limites: se
e com , então
e se
então
.
Passo 3
Aplicando o método: dividir numerador e denominador por
. Escrevo a expressão como
Simplificando as divisões dentro dos parênteses (dividindo potências):
Passo 4
Análise dos termos que aparecem:
- Para
vale , e portanto . - Logo
- O limite do denominador é
, que é diferente de zero, então podemos aplicar a propriedade do quociente de limites.
Passo 5
Aplicando a propriedade do quociente:
Interpretação curta: como os dois polinômios têm o mesmo grau (
), o limite é simplesmente a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau (coeficiente líder do numerador sobre coeficiente líder do denominador), isto é
.
Passo 6
Dica prática para prova (resumo):
- Se grau do numerador
grau do denominador: limite é razão dos coeficientes líderes. - Se grau do numerador
grau do denominador: limite é . - Se grau do numerador
grau do denominador: limite é (verificar sinal).
Bônus exemplo rápido:(mesmo grau, razão ).