21-24 Determine o campo vetorial gradiente de
.
21.
22.
24.
21.
22.
24.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (cada item peço o campo gradiente de
).
- Item 21: dada
. Pede: determinar o gradiente de . - Informação importante do enunciado: a expressão
aparece dentro do logaritmo natural.
- Informação importante do enunciado: a expressão
- Item 22: dada
. Pede: determinar o gradiente de . - Informação importante:
depende de e , mas a expressão explícita só envolve (parâmetros são constantes).
- Informação importante:
- Item 24: dada
. Pede: determinar o gradiente de . - Informação importante: há uma composição
; atenção às derivadas parciais em relação a .
- Informação importante: há uma composição
Observações sobre domínio (úteis para saber onde a função é diferenciável):
- Para o item 21 é preciso
para que esteja definido (caso de log natural de reais). - Para o item 22, a expressão
exige cuidado: se não for inteiro, normalmente se exige para trabalhar com a potência real; caso contrário a expressão é formalmente diferenciável onde estiver definida. - Para o item 24 é preciso
para que faça sentido.
Passo 2
Definição e estratégia geral (ferramenta que vamos usar).
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Em duas variáveis:
Em três variáveis:
- Regra prática: para calcular cada componente do gradiente, tratamos as outras variáveis como constantes e derivamos em relação à variável indicada.
- Lembrar das regras que usaremos:
- Derivada de
em relação a uma variável é (regra da cadeia). - Produto:
. - Derivada de
é (regra da cadeia). - Se uma função não depende de certa variável, a derivada parcial em relação a essa variável é zero.
- Derivada de
Passo 3
Resolver o item 21:
.
- Calcular
.
- Tomo
. Então . - Usando regra da cadeia:
. - Aqui
porque e é tratado como constante. - Logo:
- Calcular
.
- Mesma ideia:
. - Agora
. - Logo:
- Montar o gradiente.
válido onde
(domínio de
).
Passo 4
Resolver o item 22:
.
-
Observação:
depende apenas de explicitamente; portanto . -
Calcular
usando a regra do produto.
- Escrevo
com e . - Derivadas:
-
(regra da potência). -
(derivada da exponencial).
-
- Aplicando produto:
- Fatorando
para ficar mais compacto:
- Montar o gradiente.
válido onde
e
estão definidos (por exemplo
se
for real não inteiro).
Passo 5
Resolver o item 24:
.
- Calcular
.
- Aqui
é tratado como constante quando derivamos em relação a . - Portanto:
- Calcular
.
- Temos
com . - Derivada em relação a
: (regra da cadeia). - Como
, temos (tratando como constante). - Logo:
- Calcular
.
- Novamente
com . Agora derivamos em relação a . -
. - Aplicando a regra da cadeia:
- Simplificando:
- Montar o gradiente.
válido para
.