21-24 Determine o campo vetorial gradiente de f.
21. f(x, y)=\ln (x+2 y)
22. f(x, y)=x^{\alpha} e^{-\beta x}
24. f(x, y, z)=x \cos (y / z)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (cada item peço o campo gradiente de f).
  • Item 21: dada f(x,y)=\ln(x+2y). Pede: determinar o gradiente de f.
    • Informação importante do enunciado: a expressão x+2y aparece dentro do logaritmo natural.
  • Item 22: dada f(x,y)=x^{\alpha} e^{-\beta x}. Pede: determinar o gradiente de f.
    • Informação importante: f depende de \,x e \,y, mas a expressão explícita só envolve x (parâmetros \alpha,\beta são constantes).
  • Item 24: dada f(x,y,z)=x\cos\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr). Pede: determinar o gradiente de f.
    • Informação importante: há uma composição \cos(y/z); atenção às derivadas parciais em relação a x,y,z.
Observações sobre domínio (úteis para saber onde a função é diferenciável):
  • Para o item 21 é preciso x+2y>0 para que \ln(x+2y) esteja definido (caso de log natural de reais).
  • Para o item 22, a expressão x^{\alpha} exige cuidado: se \alpha não for inteiro, normalmente se exige x>0 para trabalhar com a potência real; caso contrário a expressão é formalmente diferenciável onde estiver definida.
  • Para o item 24 é preciso z\neq0 para que y/z faça sentido.

Passo 2

Definição e estratégia geral (ferramenta que vamos usar).
  • O gradiente de uma função escalar f é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Em duas variáveis:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Em três variáveis:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Regra prática: para calcular cada componente do gradiente, tratamos as outras variáveis como constantes e derivamos em relação à variável indicada.
  • Lembrar das regras que usaremos:
    • Derivada de \ln(u) em relação a uma variável é \dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{du}{d(\text{variável})}á (regra da cadeia).
    • Produto: \dfrac{d}{dx}[g(x)h(x)]=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
    • Derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u' (regra da cadeia).
    • Se uma função não depende de certa variável, a derivada parcial em relação a essa variável é zero.

Passo 3

Resolver o item 21: f(x,y)=\ln(x+2y).
  1. Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Tomo u(x,y)=x+2y. Então f=\ln(u).
  • Usando regra da cadeia: \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x}=1 porque u=x+2y e y é tratado como constante.
  • Logo:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+2y}\,.
  1. Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Mesma ideia: \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}.
  • Agora \dfrac{\partial u}{\partial y}=2.
  • Logo:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2}{x+2y}\,.
  1. Montar o gradiente.
\nabla f(x,y)=\left(\frac{1}{x+2y},\;\frac{2}{x+2y}\right),
válido onde x+2y>0 (domínio de \ln).

Passo 4

Resolver o item 22: f(x,y)=x^{\alpha} e^{-\beta x}.
  1. Observação: f depende apenas de x explicitamente; portanto \dfrac{\partial f}{\partial y}=0.
  2. Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} usando a regra do produto.
  • Escrevo f(x)=g(x)h(x) com g(x)=x^{\alpha} e h(x)=e^{-\beta x}.
  • Derivadas:
    • g'(x)=\alpha x^{\alpha-1} (regra da potência).
    • h'(x)=-\beta e^{-\beta x} (derivada da exponencial).
  • Aplicando produto:
\frac{\partial f}{\partial x}=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)=\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x} + x^{\alpha}(-\beta) e^{-\beta x}.
  • Fatorando e^{-\beta x} x^{\alpha-1} para ficar mais compacto:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{-\beta x} x^{\alpha-1}\bigl(\alpha - \beta x\bigr).
  1. Montar o gradiente.
\nabla f(x,y)=\left(e^{-\beta x} x^{\alpha-1}\bigl(\alpha-\beta x\bigr),\;0\right),
válido onde x^{\alpha} e e^{-\beta x} estão definidos (por exemplo x>0 se \alpha for real não inteiro).

Passo 5

Resolver o item 24: f(x,y,z)=x\cos\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr).
  1. Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Aqui \cos(y/z) é tratado como constante quando derivamos em relação a x.
  • Portanto:
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr).
  1. Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Temos f(x,y,z)=x\cdot \cos\!\bigl(u\bigr) com u=\tfrac{y}{z}.
  • Derivada em relação a y: \dfrac{\partial f}{\partial y}=x\cdot \bigl(-\sin(u)\bigr)\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y} (regra da cadeia).
  • Como u=\tfrac{y}{z}, temos \dfrac{\partial u}{\partial y}=\tfrac{1}{z} (tratando z como constante).
  • Logo:
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\bigl(-\sin(\tfrac{y}{z})\bigr)\cdot\frac{1}{z}=-\frac{x}{z}\sin\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr).
  1. Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Novamente f=x\cos(u) com u=\tfrac{y}{z}. Agora derivamos u em relação a z.
  • \dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\!\left(\tfrac{y}{z}\right)=y\cdot \dfrac{\partial}{\partial z}\!\left(\tfrac{1}{z}\right)=y\cdot\bigl(-\tfrac{1}{z^{2}}\bigr)=-\frac{y}{z^{2}}.
  • Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial z}=x\cdot\bigl(-\sin(u)\bigr)\cdot\left(-\frac{y}{z^{2}}\right)=x\cdot\sin\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr)\cdot\frac{y}{z^{2}}.
  • Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{x y}{z^{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr).
  1. Montar o gradiente.
\nabla f(x,y,z)=\left(\cos\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr),\; -\frac{x}{z}\sin\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr),\; \frac{x y}{z^{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr)\right),
válido para z\neq 0.

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{1}{x+2y},\;\dfrac{2}{x+2y}\right)
\nabla f(x,y)=\left(e^{-\beta x} x^{\alpha-1}\bigl(\alpha-\beta x\bigr),\;0\right)
\nabla f(x,y,z)=\left(\cos\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr),\; -\dfrac{x}{z}\sin\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr),\; \dfrac{x y}{z^{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr)\right)

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