Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro
e pelos planos
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Nos dão o campo vetorial
. - A superfície
é a superfície fechada que delimita o sólido formado pelo cilindro (eixo paralelo ao eixo ) e pelos planos e . Logo . - O que se pede: calcular o fluxo de
através de , isto é .
Passo 2
Apresentar a ferramenta que vamos usar (Teorema da Divergência) e explicá‑la de forma didática.
- O Teorema da Divergência (ou de Gauss) diz que, para uma região
sólida fechada por uma superfície suave orientada para fora,
- Aqui
é a divergência de , e é o elemento de volume. A ideia é trocar a integral de superfície por uma integral tripla do escalar sobre todo o volume interno — muitas vezes isso simplifica muito o cálculo.
Passo 3
Calcular a divergência
passo a passo.
- Por definição,
- Calcule cada derivada parcial:
-
(deriva-se em relação a , ficando , e é tratado como constante). -
porque não depende de . -
.
-
- Portanto
Passo 4
Descrever o volume
e escolher coordenadas convenientes; explicar por que as escolhemos.
- O sólido é o cilindro reto de raio
com eixo paralelo a , e varia de a . Assim, em cada plano perpendicular ao eixo (ou seja, plano ), a região é o disco . - Para integrar
é natural usar coordenadas polares no plano : definir com e . A coordenada permanece igual e varia de a . - Em coordenadas
, o elemento de volume é .
Passo 5
Montar a integral tripla usando o Teorema da Divergência e as coordenadas escolhidas.
- Substituindo
e , o integrando em coordenadas polares do plano fica . - Multiplicando pelo jacobiano
obtemos o integrando para : . - Assim a integral tripla é
Passo 6
Calcular a integral iterada passo a passo.
- Primeiro integral em
:
- Em seguida integral em
:
- Finalmente integral em
:
- Multiplicando os resultados:
Passo 7
Conclusão e interpretação final (um empurrãozinho motivador).
- Pelo Teorema da Divergência, a integral de superfície pedida é igual à integral tripla que calculamos, portanto o fluxo total de
através de é . - Bom trabalho por ter chegado até aqui — essa é uma aplicação clássica do Teorema da Divergência: em vez de calcular fluxos separadamente nas faces lateral e nas tampas do cilindro, calculamos uma única integral sobre o volume, que costuma ser muito mais simples.