Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, calcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
\mathbf{F}(x, y, z)=3 x y^{2} \mathbf{i}+x e^{z} \mathbf{j}+z^{3} \mathbf{k}, S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=1 e pelos planos x=-1 e x=2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Nos dão o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=3xy^{2}\,\mathbf{i}+x e^{z}\,\mathbf{j}+z^{3}\,\mathbf{k}.
  • A superfície S é a superfície fechada que delimita o sólido V formado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=1 (eixo paralelo ao eixo x) e pelos planos x=-1 e x=2. Logo V=\{(x,y,z)\mid -1\le x\le 2,\; y^{2}+z^{2}\le 1\}.
  • O que se pede: calcular o fluxo de \mathbf{F} através de S, isto é \displaystyle \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 2

Apresentar a ferramenta que vamos usar (Teorema da Divergência) e explicá‑la de forma didática.
  • O Teorema da Divergência (ou de Gauss) diz que, para uma região V sólida fechada por uma superfície suave orientada para fora,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
  • Aqui \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}, e dV é o elemento de volume. A ideia é trocar a integral de superfície por uma integral tripla do escalar \nabla\cdot\mathbf{F} sobre todo o volume interno — muitas vezes isso simplifica muito o cálculo.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\mathbf{F} passo a passo.
  • Por definição,
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(3xy^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(x e^{z})+\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}).
  • Calcule cada derivada parcial:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^{2})=3y^{2} (deriva-se 3x em relação a x, ficando 3, e y^{2} é tratado como constante).
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x e^{z})=0 porque x e^{z} não depende de y.
    • \dfrac{\partial}{\partial z}(z^{3})=3z^{2}.
  • Portanto
\nabla\cdot\mathbf{F}=3y^{2}+0+3z^{2}=3(y^{2}+z^{2}).

Passo 4

Descrever o volume V e escolher coordenadas convenientes; explicar por que as escolhemos.
  • O sólido é o cilindro reto de raio 1 com eixo paralelo a x, e x varia de -1 a 2. Assim, em cada plano perpendicular ao eixo x (ou seja, plano yz), a região é o disco y^{2}+z^{2}\le 1.
  • Para integrar y^{2}+z^{2} é natural usar coordenadas polares no plano yz: definir y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,com 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. A coordenada x permanece igual e varia de -1 a 2.
  • Em coordenadas (x,r,\theta), o elemento de volume é dV = dx\; r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Montar a integral tripla usando o Teorema da Divergência e as coordenadas escolhidas.
  • Substituindo \nabla\cdot\mathbf{F}=3(y^{2}+z^{2}) e y^{2}+z^{2}=r^{2}, o integrando em coordenadas polares do plano yz fica 3r^{2}.
  • Multiplicando pelo jacobiano r obtemos o integrando para dV: 3r^{2}\cdot r=3r^{3}.
  • Assim a integral tripla é
\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV =\int_{x=-1}^{2}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}3r^{3}\,dr\,d\theta\,dx.

Passo 6

Calcular a integral iterada passo a passo.
  • Primeiro integral em r:
\int_{0}^{1}3r^{3}\,dr=3\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
  • Em seguida integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Finalmente integral em x:
\int_{-1}^{2} dx = 2-(-1)=3.
  • Multiplicando os resultados:
\left(\frac{3}{4}\right)\cdot(2\pi)\cdot 3 = \frac{3}{4}\cdot 6\pi = \frac{18\pi}{4}=\frac{9\pi}{2}.

Passo 7

Conclusão e interpretação final (um empurrãozinho motivador).
  • Pelo Teorema da Divergência, a integral de superfície pedida é igual à integral tripla que calculamos, portanto o fluxo total de \mathbf{F} através de S é \dfrac{9\pi}{2}.
  • Bom trabalho por ter chegado até aqui — essa é uma aplicação clássica do Teorema da Divergência: em vez de calcular fluxos separadamente nas faces lateral e nas tampas do cilindro, calculamos uma única integral sobre o volume, que costuma ser muito mais simples.

Resposta

\dfrac{9\pi}{2}

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