21-25 Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral1^4(x^2+2 x-5) d x

Passo 1

Vou resumir o que temos: queremos calcular a integral definida de 1 a 4 da função x²+2x−5 usando a definição de integral como limite de somas de Riemann (Teorema 4). Vamos precisar: uma partição regular do intervalo [1,4], definir Δx e xi, escrever a soma de Riemann Σ f(xi)Δx, usar as fórmulas conhecidas para Σi e Σi² e, finalmente, tirar o limite quando n→∞.

Passo 2

Escolho uma partição regular com n subintervalos de igual largura. Assim temos:
Δx=4-1n=3n, xi=1+i,Δx=1+3in

Passo 3

A soma de Riemann usando o ponto à direita xi é
sumi=1^n f(xi),Δx=sumi=1^nl[(1+tfrac3in)^2+2(1+tfrac3in)-5r]3n

Passo 4

Agora simplifico f(x_i):
(1+tfrac3in)^2+2(1+tfrac3in)-5=-2+12in+9i^2n^2

Passo 5

Então a soma vira
sumi=1^nl(-2+12in+9i^2n^2r)3n=sumi=1^nl(-6n+36in^2+27i^2n^3r)

Passo 6

Divido em três somas e uso fórmulas padrão:
sumi=1^nl(-6nr)=-6, sumi=1^n36in^2=36n^2cdotn(n+1)2, sumi=1^n27i^2n^3=27n^3cdotn(n+1)(2n+1)6

Passo 7

Simplificando cada termo obtemos uma soma S(n):
S(n)=-6+18l(1+1nr)+4.5l(2+3n+1n^2r)=21+31.5n+4.5n^2

Passo 8

Finalmente, pela definição,
integral1^4(x^2+2x-5)dx=limntoinftyS(n)=21

Resposta

21

Exercícios relacionados