21-30 Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de a. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a série de Taylor de
centrada em
, isto cai na matéria de desenvolvimento em série de potências e uso do teorema binomial generalizado. Vamos precisar reescrever
como
para aplicar a fórmula do binômio com expoente negativo.
Passo 2
Definimos
, de modo que
. Assim
Passo 3
Pelo teorema do binômio generalizado, para
vale
onde
Passo 4
Logo
Passo 5
Substituindo
de volta, a série de Taylor em torno de
é
Passo 6
O raio de convergência vem da condição
, ou seja
, então o raio é 1.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é
com raio de convergência
.