21-30 Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=1 / x^2, a=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a série de Taylor de f(x)=1/x^2 centrada em a=1, isto cai na matéria de desenvolvimento em série de potências e uso do teorema binomial generalizado. Vamos precisar reescrever f(x) como (1+u)^-2 para aplicar a fórmula do binômio com expoente negativo.

Passo 2

Definimos u = x-1, de modo que x = 1+u. Assim
f(x)=1x^2=1(1+u)^2=(1+u)^-2

Passo 3

Pelo teorema do binômio generalizado, para minR vale
(1+u)^m=sumn=0^inftybinommnu^n,
onde binommn=m(m-1)cdots(m-n+1)n!. Tomando m=-2 obtemos
binom-2n=(-1)^nbinomn+1n=(-1)^n(n+1)

Passo 4

Logo
(1+u)^-2=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)u^n

Passo 5

Substituindo u=x-1 de volta, a série de Taylor em torno de a=1 é

Passo 6

O raio de convergência vem da condição |u|<1, ou seja |x-1|<1, então o raio é 1.

Resposta

A série de Taylor de f(x)=1/x^2 em torno de a=1 é
1x^2=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)(x-1)^n,
com raio de convergência R=1.

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