Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+4 y=3 csc 2 t, 0 (Resposta y(t)=c1 cos 2 t+c2 sen 2 t+ 34(sen 2 t)+t sen(2 t)-32 cos (2 t))

Passo 1

O exercício pede pra gente achar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: solução da parte homogênea (equação característica) e método de variação de parâmetros para gerar a parte particular. Precisamos também do conceito de Wronskiano.

Passo 2

A parte homogênea é
y''+4y=0
A equação característica é r^2+4=0, cujas raízes são r=±2i. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 3

No método de variação de parâmetros a gente busca uma solução particular da forma
yp=u1(t)cos(2t)+u2(t)sin(2t),
egualando as condições auxiliares
u1'(t)cos(2t)+u2'(t)sin(2t)=0

Passo 4

Calculamos o Wronskiano das duas soluções independentes y1=cos(2t) e y2=sin(2t):
W=cos(2t)&sin(2t)-2sin(2t)&2cos(2t)=2(cos^2(2t)+sin^2(2t))=2

Passo 5

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'=-y2,g(t)W=-sin(2t)cdot3csc(2t)2=-32,
u2'=y1,g(t)W=cos(2t)cdot3csc(2t)2=32cot(2t),
onde g(t)=3csc(2t) é o termo forçante.

Passo 6

Agora é só integrar:
u1(t)=-integral32,dt=-32t,
$$u_2(t)=\int\frac{3}{2}\cot(2t),dt=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln|\sin(2t)|=\frac{3}{4}\ln\bigl(\sin(2t)\bigr).
$$

Passo 7

A solução particular fica
$$y_p(t)=u_1(t)\cos(2t)+u_2(t)\sin(2t)=-\frac{3}{2}t\cos(2t)+\frac{3}{4}\sin(2t)\ln\bigl(\sin(2t)\bigr).
$$

Passo 8

Portanto a solução geral é a soma de yh com yp:
y(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)-32tcos(2t)+34sin(2t)lnl(sin(2t)r),
válida em 0 onde sin(2t)>0.

Resposta

y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-\tfrac{3}{2},t\cos(2t)+\tfrac{3}{4},\sin(2t)\ln\bigl(\sin(2t)\bigr)

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