Investigue a continuidades das seguintes funções nos pontos indicados:
f(x)=clx^2-4x-2 & , x neq 2 0 & , x=2 ein x=2 ;

Passo 1

O enunciado pede para investigar a continuidade de uma função definida por partes no ponto x=2. O conteúdo aqui é o conceito de continuidade em um ponto, que envolve calcular o limite da função quando xto 2 e compará-lo com o valor dado f(2)=0. Vamos usar a definição de limite e a simplificação algébrica.

Passo 2

Para xneq2, note que x^2-4=(x-2)(x+2). Então temos a simplificação em bloco:
f(x)=x^2-4x-2=x+2,
para xneq2. Assim, podemos calcular o limite quando x se aproxima de 2 usando essa forma simplificada.

Passo 3

Como a função se comporta como x+2 perto de 2, o limite é
limxto2f(x)=limxto2(x+2)=4
Agora compare isso com o valor definido em x=2, que é f(2)=0.

Passo 4

Pela definição de continuidade, precisamos de três condições:
  1. f(2) está definida (sim, é 0).
  2. O limite limxto2f(x) existe (sim, é 4).
  3. Esse limite coincide com f(2). Aqui, 4 ≠ 0, então a condição falha.

Passo 5

Como o limite existe mas não bate com f(2), concluímos que há descontinuidade em x=2. Especificamente, é uma descontinuidade removível, pois bastaria definir f(2)=4 para restaurar a continuidade.

Resposta

A função não é contínua em x=2; há uma descontinuidade removível, pois limxto2f(x)=4 mas f(2)=0.

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