Investigue a continuidades das seguintes funções nos pontos indicados:
ein
Passo 1
O enunciado pede para investigar a continuidade de uma função definida por partes no ponto
. O conteúdo aqui é o conceito de continuidade em um ponto, que envolve calcular o limite da função quando
e compará-lo com o valor dado
. Vamos usar a definição de limite e a simplificação algébrica.
Passo 2
Para
, note que
. Então temos a simplificação em bloco:
para
. Assim, podemos calcular o limite quando
se aproxima de 2 usando essa forma simplificada.
Passo 3
Como a função se comporta como
perto de 2, o limite é
Agora compare isso com o valor definido em
, que é
.
Passo 4
Pela definição de continuidade, precisamos de três condições:
-
está definida (sim, é 0). - O limite
existe (sim, é 4). - Esse limite coincide com
. Aqui, 4 ≠ 0, então a condição falha.
Passo 5
Como o limite existe mas não bate com
, concluímos que há descontinuidade em
. Especificamente, é uma descontinuidade removível, pois bastaria definir
para restaurar a continuidade.
Resposta
A função não é contínua em
; há uma descontinuidade removível, pois
mas
.