21-30 Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=sen 2 x, a=pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Taylor da função centrada em . Isso quer dizer que vamos expandir a função em uma série de potências ao redor de . Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas de e usar a fórmula da série de Taylor. Além disso, vamos descobrir o raio de convergência dessa série, que indica até onde a série é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n centrada em :
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de . Vamos precisar calcular as derivadas de até identificar um padrão.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x) &= sin(2x) f'(x) &= 2cos(2x) f''(x) &= -4sin(2x) f'''(x) &= -8cos(2x) f''''(x) &= 16sin(2x) :
f(pi) &= sin(2pi) = 0 f'(pi) &= 2cos(2pi) = 2 f''(pi) &= -4sin(2pi) = 0 f'''(pi) &= -8cos(2pi) = -8 f''''(pi) &= 16sin(2pi) = 0
Observamos que as derivadas se repetem a cada 4 termos, com sinais e coeficientes alternando. Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
Vemos que as derivadas ímpares são diferentes de zero e as pares são zero. Isso nos ajuda a simplificar a série de Taylor.

Passo 4

Agora, vamos montar a série de Taylor usando as derivadas calculadas:
f(x) &= f(pi) + f'(pi)(x - pi) + f''(pi)2!(x - pi)^2 + f'''(pi)3!(x - pi)^3 + cdots &= 0 + 2(x - pi) + 0 cdot (x - pi)^2 + -86(x - pi)^3 + cdots &= 2(x - pi) - 43(x - pi)^3 + cdots
Percebemos um padrão onde somente as potências ímpares aparecem. A série completa fica:
f(x) = sumn=0^infty 2(-1)^n 2^2n(2n+1)! (x - pi)^2n+1

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência, lembramos que a série de Taylor de funções trigonométricas, como o seno, tem raio de convergência infinito. Isso significa que a série converge para todo real.

Resposta

A série de Taylor de sin(2x) = sumn=0^infty 2(-1)^n 2^2n(2n+1)! (x - pi)^2n+1 centrada em é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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