21-30 Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de a. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. Isso quer dizer que vamos expandir a função em uma série de potências ao redor de
. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas de
e usar a fórmula da série de Taylor. Além disso, vamos descobrir o raio de convergência dessa série, que indica até onde a série é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
. Vamos precisar calcular as derivadas de
até identificar um padrão.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Observamos que as derivadas se repetem a cada 4 termos, com sinais e coeficientes alternando. Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
Vemos que as derivadas ímpares são diferentes de zero e as pares são zero. Isso nos ajuda a simplificar a série de Taylor.
Passo 4
Agora, vamos montar a série de Taylor usando as derivadas calculadas:
Percebemos um padrão onde somente as potências ímpares aparecem. A série completa fica:
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência, lembramos que a série de Taylor de funções trigonométricas, como o seno, tem raio de convergência infinito. Isso significa que a série converge para todo
real.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.