21.64 • PC Duas esferas idênticas estão suspensas por fios de seda de comprimento L=0,500 \mathrm{~m}, presos em um ponto comum (Figura P21.62). Cada esfera possui massa m=8,00 \mathrm{~g}. O raio de cada esfera é muito pequeno em comparação à distância entre as esferas, de modo que elas podem ser consideradas cargas puntiformes. Uma esfera possui uma carga q_{1} e a outra possui uma carga diferente q_{2}; as esferas se afastam e, quando elas atingem o equilíbrio, cada fio forma um ângulo \theta=20,0^{\circ} \operatorname{com} a vertical. (a) Faça um diagrama do corpo livre para cada esfera na posição de equilíbrio, identificando com símbolos todas as forças que atuam em cada esfera. (b) Determine o módulo da força eletrostática que atua sobre cada esfera e calcule a tensão em cada fio. (c) Com base nos dados do problema, o que você pode concluir sobre os módulos e os sinais das cargas q_{1} e q_{2} ? Explique. (d) Agora um pequeno fio condutor é conectado entre as duas esferas, permitindo que ocorra uma transferência de cargas de uma para outra até que as duas esferas fiquem com cargas iguais; a seguir, o fio condutor é removido. Então, cada fio de seda passa a formar um ângulo de 30,0^{\circ} com a vertical. Calcule os valores das cargas originais q_{1} e q_{2}. (Dica: a carga total das duas esferas permanece constante.)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumo claro — sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento do fio: L=0,500\\ \mathrm{m}.
    • Massa de cada esfera: m=8,00\\ \mathrm{g}=0,00800\\ \mathrm{kg}.
    • Ângulo de equilíbrio inicial: \theta=20,0^\circ.
    • As esferas são idênticas e muito pequenas (podem ser tratadas como cargas puntiformes).
    • Uma esfera tem carga q_1 e a outra tem carga q_2; as cargas são diferentes.
  • O enunciado pede:
    (a) um diagrama do corpo livre para cada esfera na posição de equilíbrio, identificando todas as forças;
    (b) determinar o módulo da força eletrostática que atua em cada esfera e calcular a tensão em cada fio;
    (c) que conclusão se tira sobre os módulos e sinais de q_1 e q_2;
    (d) após conectar um fio condutor (as cargas se igualam) e remover o fio, os fios ficam com \theta=30,0^\circ; calcular os valores das cargas originais q_1 e q_2.

Passo 2

Diagrama do corpo livre (parte a) — descrição e identificação das forças para UMA esfera na posição de equilíbrio.
  • Forças que atuam na esfera (nomes e direções):
    • Tensão do fio: \vec{T}, aplicada ao longo do fio, dirigida para cima e para o ponto de suspensão, formando ângulo \theta com a vertical.
    • Peso: \vec{P}=m\vec{g}, dirigido verticalmente para baixo, módulo mg.
    • Força eletrostática: \vec{F}_e, horizontal e dirigida para fora (repulsão), perpendicular à vertical; para cada esfera ela aponta para longe da outra esfera.
  • Escolha de componentes (útil para equações): decompor a tensão em componente vertical T\cos\theta e horizontal T\sin\theta. Em equilíbrio estático: soma das forças em cada direção é zero.

Passo 3

Equações de equilíbrio e interpretação das variáveis (aulas curtas sobre ideia física e fórmulas).
  • Em equilíbrio, componentes:
    • Vertical: T\cos\theta = mg.Explicação: a componente vertical da tensão equilibra o peso; T é o módulo da tensão (unidade: N), \theta é o ângulo com a vertical, m é a massa (kg) e g é a aceleração da gravidade (m/s ^2, usar g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}).
    • Horizontal: T\sin\theta = F_e.Explicação: a componente horizontal da tensão equilibra a força eletrostática F_e (módulo da força entre as cargas).
  • Podemos combinar essas duas equações para eliminar T:
    F_e = T\sin\theta = (mg)\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = mg\tan\theta.
    Portanto F_e pode ser obtida diretamente de m, g e \theta. A tensão é
    T = \frac{mg}{\cos\theta}.

Passo 4

Cálculo numérico de T e F_e (parte b) — passo a passo sem pular etapas.
  • Dados numéricos: m=0,00800\\ \mathrm{kg}, g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}, \theta=20{,}0^\circ.
  • Primeiro o produto mg:
    mg = 0{,}00800\times 9{,}80 = 0{,}0784\\ \mathrm{N}.
  • Calcular F_e = mg\tan\theta.
    • \tan 20{,}0^\circ \approx 0{,}363970.
    • Então F_e = 0{,}0784\times 0{,}363970 \approx 0{,}0285\\ \mathrm{N}.
  • Calcular T = \dfrac{mg}{\cos\theta}.
    • \cos 20{,}0^\circ \approx 0{,}939693.
    • Então T = \frac{0{,}0784}{0{,}939693} \approx 0{,}0835\\ \mathrm{N}.
  • Comentário didático: repare que não precisamos conhecer as cargas individuais para obter F_e e T; a condição de equilíbrio fornece F_e diretamente através de mg\tan\theta.

Passo 5

Ligando F_e às cargas através da Lei de Coulomb (conceito importante para chegar às cargas).
  • Lei de Coulomb para duas cargas puntiformes (módulo da força):
    F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
    onde k=8{,}988\times 10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}, q_1,q_2 são as cargas (C) e r é a distância entre as cargas (m).
  • Distância entre as esferas no equilíbrio (geometria do triângulo):
    • A projeção horizontal de uma esfera em relação à vertical do ponto de suspensão é x = L\sin\theta.
    • Portanto a distância entre as duas cargas é r = 2x = 2L\sin\theta.
  • Para a configuração inicial ( \theta=20{,}0^\circ):
    r_{20} = 2L\sin 20{,}0^\circ = 2(0{,}500)\sin 20{,}0^\circ \approx 0{,}342020\\ \mathrm{m}.
  • Como F_e foi encontrado no Passo 4, pode-se obter o produto das cargas:
    |q_1 q_2| = \frac{F_e\, r_{20}^2}{k}.
    Nota: esta relação dá apenas o produto dos módulos das cargas, não cada carga individualmente.

Passo 6

Resposta conceitual sobre sinais e módulos (parte c).
  • Como as esferas se afastam (força de repulsão), conclui-se que as cargas têm o mesmo sinal: ou ambas positivas ou ambas negativas. A direção da força (para fora) mostra repulsão.
  • Sobre os módulos: a condição de equilíbrio inicial fornece apenas o produto |q_1 q_2|, portanto não é possível determinar, a partir apenas do estado inicial, os módulos individuais |q_1| e |q_2|. Para obter os valores individuais é preciso informação extra (por exemplo, o estado após equalização, que é dado na parte d).

Passo 7

Análise do processo com fio condutor e nova condição de equilíbrio (preparação para calcular q_1 e q_2).
  • Quando um fio condutor é conectado, cargas se redistribuem até que as duas esferas tenham a mesma carga. Denotar a carga igual após a conexão por q'.
  • Conservação da carga total: q_1 + q_2 = 2q'.
  • Depois que o fio condutor é removido, cada esfera tem q' e o novo ângulo de equilíbrio é \theta'=30{,}0^\circ. Repetindo o raciocínio do Passo 4 para \theta'=30{,}0^\circ: F'_e = mg\tan\theta'.
  • Geometria para \theta'=30{,}0^\circ: r_{30} = 2L\sin 30{,}0^\circ = 2(0{,}500)\sin 30{,}0^\circ = 0{,}500\\ \mathrm{m}.
  • Como agora as duas cargas são iguais, pela Lei de Coulomb: F'_e = k\frac{{q'}^{2}}{r_{30}^{2}}.Assim q' = \sqrt{\frac{F'_e\, r_{30}^{2}}{k}}.
  • Calcular numericamente F'_e, q' e a soma S=q_1+q_2=2q'.

Passo 8

Cálculo numérico de q', soma S e produto P; resolução da quadrática para achar q_1 e q_2 (parte d), com todos os passos mostrados.
  • Valor de F'_e (ângulo 30{,}0^\circ):
    • \tan 30{,}0^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577350.
    • Então F'_e = mg\tan 30{,}0^\circ = 0{,}0784\times 0{,}577350 \approx 0{,}0453\\ \mathrm{N}.
  • Calcular q': q' = \sqrt{\frac{F'_e\, r_{30}^{2}}{k}} = \sqrt{\frac{0{,}0452658\times (0{,}500)^2}{8{,}988\times 10^{9}}}.Passo a passo numérico:
    • r_{30}^2 = 0{,}500^2 = 0{,}25\\ \mathrm{m^2}.
    • Numerador: F'_e r_{30}^2 \approx 0{,}0452658\times 0{,}25 = 0{,}0113164.
    • Dividindo por k: \dfrac{0{,}0113164}{8{,}988\times 10^{9}} \approx 1{,}2596\times 10^{-12}.
    • Raiz: q' \approx 1{,}122\times 10^{-6}\\ \mathrm{C} (ou 1{,}122\\ \mu\mathrm{C}).
  • Soma total de cargas: S = q_1+q_2 = 2q' \approx 2{,}244\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Produto das cargas a partir do estado inicial ( \theta=20{,}0^\circ):
    • Usar F_e do Passo 4: F_e \approx 0{,}028536\\ \mathrm{N}.
    • Distância inicial r_{20} já calculada: r_{20}\approx 0{,}342020\\ \mathrm{m}.
    • Então P = |q_1 q_2| = \frac{F_e\, r_{20}^2}{k}numéricamente:
      • r_{20}^2 \approx 0{,}116978\\ \mathrm{m^2}.
      • F_e r_{20}^2 \approx 0{,}028536\times 0{,}116978 \approx 0{,}0033370.
      • Dividindo por k: P \approx 3{,}713\times 10^{-13}\\ \mathrm{C^2}.
  • Agora q_1 e q_2 são raízes da equação quadrática x^2 - Sx + P = 0,com S e P conhecidos. Solução pela fórmula de Bhaskara: x = \frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4P}}{2}.Calcular numericamente:
    • S \approx 2{,}2448\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • S^2 \approx 5{,}0382\times 10^{-12}\\ \mathrm{C^2}.
    • 4P \approx 1{,}4853\times 10^{-12}\\ \mathrm{C^2}.
    • Discriminante: S^2-4P \approx 3{,}5529\times 10^{-12}.
    • Raiz do discriminante: \approx 1{,}8860\times 10^{-6}.
    • Assim q_1 = \frac{2{,}2448\times 10^{-6} + 1{,}8860\times 10^{-6}}{2} \approx 2{,}065\times 10^{-6}\\ \mathrm{C},
q_2 = \frac{2{,}2448\times 10^{-6} - 1{,}8860\times 10^{-6}}{2} \approx 0{,}179\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Arredondando com três algarismos significativos (consistente com os dados): q_1 \approx 2{,}07\times 10^{-6}\\ \mathrm{C} \quad\text{e}\quad q_2 \approx 1{,}79\times 10^{-7}\\ \mathrm{C}.

Passo 9

Interpretação final (conectando tudo e um comentário encorajador).
  • Resultado físico: ambas as cargas têm o mesmo sinal (repulsão) e os valores numéricos encontrados são os módulos indicados acima. O sinal absoluto (positivo ou negativo) não pode ser determinado apenas pelos ângulos; poderia-se escolher o sinal positivo por convenção — o importante é que são de mesmo sinal.
  • Bom trabalho — mesmo parecendo muita conta, a estratégia é sempre: (i) escrever equações de equilíbrio, (ii) obter forças geométricas ( mg\tan\theta ), (iii) usar Coulomb para ligar força e cargas, e (iv) usar conservação da carga quando há contato condutor. Isso resolve problemas semelhantes rapidamente na prova.

Resposta

(a) Diagrama do corpo livre: para cada esfera, \vec{T} ao longo do fio (ângulo \theta com a vertical), \vec{P}=m\vec{g} para baixo e \vec{F}_e horizontal para fora (repulsão).
(b) F_e \approx 0{,}0285\\ \mathrm{N}.
(b) T \approx 0{,}0835\\ \mathrm{N}.
(c) As duas cargas têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas); a configuração inicial só permite determinar |q_1 q_2| (não os módulos individuais).
(d) q_1 \approx 2{,}07\times 10^{-6}\\ \mathrm{C} \quad e \quad q_2 \approx 1{,}79\times 10^{-7}\\ \mathrm{C}.

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