21.64 • PC Duas esferas idênticas estão suspensas por fios de seda de comprimento
, presos em um ponto comum (Figura P21.62). Cada esfera possui massa
. O raio de cada esfera é muito pequeno em comparação à distância entre as esferas, de modo que elas podem ser consideradas cargas puntiformes. Uma esfera possui uma carga
e a outra possui uma carga diferente
; as esferas se afastam e, quando elas atingem o equilíbrio, cada fio forma um ângulo
a vertical. (a) Faça um diagrama do corpo livre para cada esfera na posição de equilíbrio, identificando com símbolos todas as forças que atuam em cada esfera. (b) Determine o módulo da força eletrostática que atua sobre cada esfera e calcule a tensão em cada fio. (c) Com base nos dados do problema, o que você pode concluir sobre os módulos e os sinais das cargas
e
? Explique. (d) Agora um pequeno fio condutor é conectado entre as duas esferas, permitindo que ocorra uma transferência de cargas de uma para outra até que as duas esferas fiquem com cargas iguais; a seguir, o fio condutor é removido. Então, cada fio de seda passa a formar um ângulo de
com a vertical. Calcule os valores das cargas originais
e
. (Dica: a carga total das duas esferas permanece constante.)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumo claro — sem resolver ainda).
- Dados fornecidos:
- Comprimento do fio:
. - Massa de cada esfera:
. - Ângulo de equilíbrio inicial:
. - As esferas são idênticas e muito pequenas (podem ser tratadas como cargas puntiformes).
- Uma esfera tem carga
e a outra tem carga ; as cargas são diferentes.
- Comprimento do fio:
- O enunciado pede:
(a) um diagrama do corpo livre para cada esfera na posição de equilíbrio, identificando todas as forças;
(b) determinar o módulo da força eletrostática que atua em cada esfera e calcular a tensão em cada fio;
(c) que conclusão se tira sobre os módulos e sinais dee ;
(d) após conectar um fio condutor (as cargas se igualam) e remover o fio, os fios ficam com; calcular os valores das cargas originais e .
Passo 2
Diagrama do corpo livre (parte a) — descrição e identificação das forças para UMA esfera na posição de equilíbrio.
-
Forças que atuam na esfera (nomes e direções):
- Tensão do fio:
, aplicada ao longo do fio, dirigida para cima e para o ponto de suspensão, formando ângulo com a vertical. - Peso:
, dirigido verticalmente para baixo, módulo . - Força eletrostática:
, horizontal e dirigida para fora (repulsão), perpendicular à vertical; para cada esfera ela aponta para longe da outra esfera.
- Tensão do fio:
-
Escolha de componentes (útil para equações): decompor a tensão em componente vertical
e horizontal . Em equilíbrio estático: soma das forças em cada direção é zero.
Passo 3
Equações de equilíbrio e interpretação das variáveis (aulas curtas sobre ideia física e fórmulas).
-
Em equilíbrio, componentes:
- Vertical:
Explicação: a componente vertical da tensão equilibra o peso; é o módulo da tensão (unidade: N), é o ângulo com a vertical, é a massa (kg) e é a aceleração da gravidade (m/s , usar ). - Horizontal:
Explicação: a componente horizontal da tensão equilibra a força eletrostática (módulo da força entre as cargas).
- Vertical:
-
Podemos combinar essas duas equações para eliminar
: Portantopode ser obtida diretamente de , e . A tensão é
Passo 4
Cálculo numérico de
e
(parte b) — passo a passo sem pular etapas.
-
Dados numéricos:
, , . -
Primeiro o produto
: -
Calcular
. -
. - Então
-
-
Calcular
. -
. - Então
-
-
Comentário didático: repare que não precisamos conhecer as cargas individuais para obter
e ; a condição de equilíbrio fornece diretamente através de .
Passo 5
Ligando
às cargas através da Lei de Coulomb (conceito importante para chegar às cargas).
-
Lei de Coulomb para duas cargas puntiformes (módulo da força):onde
, são as cargas (C) e é a distância entre as cargas (m). -
Distância entre as esferas no equilíbrio (geometria do triângulo):
- A projeção horizontal de uma esfera em relação à vertical do ponto de suspensão é
. - Portanto a distância entre as duas cargas é
- A projeção horizontal de uma esfera em relação à vertical do ponto de suspensão é
-
Para a configuração inicial (
): -
Como
foi encontrado no Passo 4, pode-se obter o produto das cargas: Nota: esta relação dá apenas o produto dos módulos das cargas, não cada carga individualmente.
Passo 6
Resposta conceitual sobre sinais e módulos (parte c).
- Como as esferas se afastam (força de repulsão), conclui-se que as cargas têm o mesmo sinal: ou ambas positivas ou ambas negativas. A direção da força (para fora) mostra repulsão.
- Sobre os módulos: a condição de equilíbrio inicial fornece apenas o produto
, portanto não é possível determinar, a partir apenas do estado inicial, os módulos individuais e . Para obter os valores individuais é preciso informação extra (por exemplo, o estado após equalização, que é dado na parte d).
Passo 7
Análise do processo com fio condutor e nova condição de equilíbrio (preparação para calcular
e
).
- Quando um fio condutor é conectado, cargas se redistribuem até que as duas esferas tenham a mesma carga. Denotar a carga igual após a conexão por
. - Conservação da carga total:
- Depois que o fio condutor é removido, cada esfera tem
e o novo ângulo de equilíbrio é . Repetindo o raciocínio do Passo 4 para : - Geometria para
: - Como agora as duas cargas são iguais, pela Lei de Coulomb:
Assim - Calcular numericamente
, e a soma .
Passo 8
Cálculo numérico de
, soma
e produto
; resolução da quadrática para achar
e
(parte d), com todos os passos mostrados.
- Valor de
(ângulo ): -
. - Então
-
- Calcular
: Passo a passo numérico: -
. - Numerador:
. - Dividindo por
: . - Raiz:
(ou ).
-
- Soma total de cargas:
- Produto das cargas a partir do estado inicial (
): - Usar
do Passo 4: . - Distância inicial
já calculada: . - Então
numéricamente: -
. -
. - Dividindo por
: .
-
- Usar
- Agora
e são raízes da equação quadrática com e conhecidos. Solução pela fórmula de Bhaskara: Calcular numericamente: -
. -
. -
. - Discriminante:
. - Raiz do discriminante:
. - Assim
-
- Arredondando com três algarismos significativos (consistente com os dados):
Passo 9
Interpretação final (conectando tudo e um comentário encorajador).
- Resultado físico: ambas as cargas têm o mesmo sinal (repulsão) e os valores numéricos encontrados são os módulos indicados acima. O sinal absoluto (positivo ou negativo) não pode ser determinado apenas pelos ângulos; poderia-se escolher o sinal positivo por convenção — o importante é que são de mesmo sinal.
- Bom trabalho — mesmo parecendo muita conta, a estratégia é sempre: (i) escrever equações de equilíbrio, (ii) obter forças geométricas (
), (iii) usar Coulomb para ligar força e cargas, e (iv) usar conservação da carga quando há contato condutor. Isso resolve problemas semelhantes rapidamente na prova.
Resposta
(a) Diagrama do corpo livre: para cada esfera,
ao longo do fio (ângulo
com a vertical),
para baixo e
horizontal para fora (repulsão).
(b) .
(b) .
(c) As duas cargas têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas); a configuração inicial só permite determinar (não os módulos individuais).
(d)
e
.
(b)
(b)
(c) As duas cargas têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas); a configuração inicial só permite determinar
(d)