Um fio plástico retilíneo e não condutor de
de comprimento carrega uma densidade de carga de
distribuída uniformemente ao longo do comprimento. Ele se encontra sobre a superfície horizontal de uma mesa.
Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico que esse fio produz em um ponto
diretamente acima de seu ponto médio.
Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico que esse fio produz em um ponto
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei cada dado que vou usar; peguei todos esses números do enunciado):
- Comprimento do fio:
. - Densidade linear de carga (distribuição uniforme):
. - Ponto de interesse: está
diretamente acima do ponto médio do fio, isto é, distância perpendicular do fio até o ponto . - O fio está retilíneo e sobre a superfície da mesa; o ponto está exatamente sobre o ponto médio do fio (simetria importante).
O enunciado pede:
- Determinar o módulo do campo elétrico produzido pelo fio no ponto indicado.
- Determinar a direção do campo elétrico (reta ao longo de qual eixo/linha).
- Determinar o sentido do campo elétrico (para cima ou para baixo, etc.).
Passo 2
Ideia física e equações que vou usar (sem pular etapas): cada pequeno elemento de carga
do fio produz um campo elétrico
no ponto; somando (integrando) esses contributions ao longo do fio obtemos o campo total. Para um elemento de carga
localizado a uma posição
ao longo do fio (com a origem no ponto médio do fio), a distância do elemento ao ponto é
A lei de Coulomb para um elemento de carga dá o módulo do campo diferencial
Esse
aponta radialmente para fora do elemento (porque
), mas somente a componente vertical (paralela a
) se soma, pois as componentes horizontais (paralelas ao eixo do fio) de lados opostos se cancelam por simetria. A componente vertical de
é
, e
. Portanto
O campo total no ponto é a integral ao longo de todo o fio (de
a
):
Aqui
é o componente único não-nulo do campo (positivo corresponde a sentido para cima, escolhido como sentido positivo do eixo
). Vou calcular explicitamente essa integral.
Passo 3
Cálculo da integral (mostrando passo a passo e uma substituição trigonométrica simples):
A integranda é função par em
, então podemos escrever a integral como o dobro da integral de
a
:
Faço a substituição trigonométrica
. Então
e
O integrando se transforma:
Os limites: quando
tem
; quando
tem
, com
Assim
Agora escrevo
em termos de
e
. Pela definição de
,
Portanto
Essa é a expressão final analítica para o módulo do campo (positivo significa sentido para cima).
Passo 4
Substituição numérica (controle de algarismos e unidades; uso de constantes):
- Constante eletrostática
. - Valores:
, , .
Calculo dos termos intermediários:
Agora computo o fator geométrico
Calculo
:
Finalmente, o módulo do campo:
Arredondando com razoável número de algarismos significativos (os dados têm três algarismos em
e
, e três em
), escrevo
Passo 5
Direção e sentido — explicação física simples e clara:
- A direção do campo é vertical, perpendicular ao fio, porque as componentes horizontais de todos os pequenos campos se cancelam por simetria ao tomar o ponto sobre o ponto médio.
- O sinal de
é positivo, então cada elemento de carga repele cargas de teste positivas; o campo produzido por cargas positivas aponta para fora do fio. No ponto acima do fio isso significa que o campo aponta para cima (sentido positivo do eixo ). Portanto o sentido é para cima (afastando-se do fio).
Resposta
Direção: vertical (perpendicular ao fio)
Sentido: para cima (afastando-se do fio)