Um fio plástico retilíneo e não condutor de 8,50 \mathrm{~cm} de comprimento carrega uma densidade de carga de +175 \mathrm{nC} / \mathrm{m} distribuída uniformemente ao longo do comprimento. Ele se encontra sobre a superfície horizontal de uma mesa.
Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico que esse fio produz em um ponto 6,00 \mathrm{~cm} diretamente acima de seu ponto médio.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei cada dado que vou usar; peguei todos esses números do enunciado):
  • Comprimento do fio: L = 8,50\\ \mathrm{cm} = 0,0850\\ \mathrm{m}.
  • Densidade linear de carga (distribuição uniforme): \lambda = +175\\ \mathrm{nC/m} = 175\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
  • Ponto de interesse: está 6,00\\ \mathrm{cm} diretamente acima do ponto médio do fio, isto é, distância perpendicular do fio até o ponto z = 6,00\\ \mathrm{cm} = 0,0600\\ \mathrm{m}.
  • O fio está retilíneo e sobre a superfície da mesa; o ponto está exatamente sobre o ponto médio do fio (simetria importante).
O enunciado pede:
  • Determinar o módulo do campo elétrico produzido pelo fio no ponto indicado.
  • Determinar a direção do campo elétrico (reta ao longo de qual eixo/linha).
  • Determinar o sentido do campo elétrico (para cima ou para baixo, etc.).

Passo 2

Ideia física e equações que vou usar (sem pular etapas): cada pequeno elemento de carga dq do fio produz um campo elétrico d\mathbf{E} no ponto; somando (integrando) esses contributions ao longo do fio obtemos o campo total. Para um elemento de carga dq=\lambda\,dx localizado a uma posição x ao longo do fio (com a origem no ponto médio do fio), a distância do elemento ao ponto é
r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}.
A lei de Coulomb para um elemento de carga dá o módulo do campo diferencial
dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\lambda\,dx}{(x^{2}+z^{2})}.
Esse dE aponta radialmente para fora do elemento (porque \lambda>0), mas somente a componente vertical (paralela a z) se soma, pois as componentes horizontais (paralelas ao eixo do fio) de lados opostos se cancelam por simetria. A componente vertical de dE é dE_{z}=dE\cos\theta, e \cos\theta = z/r. Portanto
dE_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\lambda\,dx}{(x^{2}+z^{2})}\cdot\frac{z}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\lambda\,z\,dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}.
O campo total no ponto é a integral ao longo de todo o fio (de x=-L/2 a x=+L/2):
E_{z}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}} \int_{-L/2}^{L/2}\frac{z\,dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Aqui E_{z} é o componente único não-nulo do campo (positivo corresponde a sentido para cima, escolhido como sentido positivo do eixo z). Vou calcular explicitamente essa integral.

Passo 3

Cálculo da integral (mostrando passo a passo e uma substituição trigonométrica simples):
A integranda é função par em x, então podemos escrever a integral como o dobro da integral de 0 a L/2:
E_{z}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}}\;2\int_{0}^{L/2}\frac{z\,dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Faço a substituição trigonométrica x = z\tan\theta. Então dx = z\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e
x^{2}+z^{2}=z^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta,\qquad (x^{2}+z^{2})^{3/2}=z^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta.
O integrando se transforma:
\frac{z\,dx}{(x^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{z\cdot z\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{z^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta}=\frac{1}{z}\cos\theta\,d\theta.
Os limites: quando x=0 tem \theta=0; quando x=L/2 tem \theta=\alpha, com
\alpha=\arctan\!\left(\frac{L/2}{z}\right).
Assim
E_{z}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}}\;2\cdot\frac{1}{z}\int_{0}^{\alpha}\cos\theta\,d\theta =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2}{z}\big[\sin\theta\big]_{0}^{\alpha} =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2}{z}\sin\alpha.
Agora escrevo \sin\alpha em termos de L e z. Pela definição de \alpha,
\sin\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{(L/2)}{\sqrt{(L/2)^{2}+z^{2}}}.
Portanto
E_{z}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2}{z}\cdot\frac{L/2}{\sqrt{(L/2)^{2}+z^{2}}} =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{L}{z\sqrt{(L/2)^{2}+z^{2}}}.
Essa é a expressão final analítica para o módulo do campo (positivo significa sentido para cima).

Passo 4

Substituição numérica (controle de algarismos e unidades; uso de constantes):
  • Constante eletrostática \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} = k \approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • Valores: L=0,0850\\ \mathrm{m}, z=0,0600\\ \mathrm{m}, \lambda=175\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
Calculo dos termos intermediários:
\frac{L}{2}=0,0425\\ \mathrm{m}, \qquad \left(\frac{L}{2}\right)^{2}=0,00180625\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad z^{2}=0,00360000\\ \mathrm{m^{2}}.
\left(\frac{L}{2}\right)^{2}+z^{2}=0,00540625\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad \sqrt{\left(\frac{L}{2}\right)^{2}+z^{2}}=0,07356\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox.}).
Agora computo o fator geométrico
\frac{L}{z\sqrt{(L/2)^{2}+z^{2}}} =\frac{0,0850}{0,0600\times 0,07356} \approx 19,26.
Calculo k\lambda:
k\lambda=(8,99\times10^{9})\times(175\times10^{-9}) =8,99\times175\times10^{0} \approx 1573{,}3\\ \mathrm{N/C}.
Finalmente, o módulo do campo:
E = k\lambda\cdot\frac{L}{z\sqrt{(L/2)^{2}+z^{2}}} \approx 1573{,}3\times 19{,}26 \approx 3{,}03\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos (os dados têm três algarismos em L e z, e três em \lambda), escrevo
E \approx 3{,}03\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Direção e sentido — explicação física simples e clara:
  • A direção do campo é vertical, perpendicular ao fio, porque as componentes horizontais de todos os pequenos campos se cancelam por simetria ao tomar o ponto sobre o ponto médio.
  • O sinal de \lambda é positivo, então cada elemento de carga repele cargas de teste positivas; o campo produzido por cargas positivas aponta para fora do fio. No ponto acima do fio isso significa que o campo aponta para cima (sentido positivo do eixo z). Portanto o sentido é para cima (afastando-se do fio).

Resposta

E = 3{,}03\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}
Direção: vertical (perpendicular ao fio)
Sentido: para cima (afastando-se do fio)

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