21.71 • Três cargas puntiformes idênticas q são colocadas nos vértices de um quadrado de lado L. Calcule o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre uma carga puntiforme -3 q colocada (a) no centro do quadrado; (b) no vértice vazio do quadrado. Em cada caso, faça um diagrama do corpo livre mostrando as forças que atuam sobre a carga -3 q exercidas pelas outras três cargas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Três cargas puntiformes idênticas q estão colocadas em três vértices de um quadrado de lado L.
    • Há uma quarta carga puntiforme de valor -3q que será colocada em dois casos distintos: (a) no centro do quadrado; (b) no vértice vazio do quadrado.
  • O que o enunciado pede, em cada caso:
    • Calcular o módulo da força resultante sobre a carga -3q.
    • Determinar a direção e o sentido (ou seja, para onde aponta) da força resultante.
    • Fazer um diagrama de corpo livre mostrando as forças exercidas sobre -3q pelas três cargas q.
Observações claras das condições que vou usar (posicionamento conveniente para facilitar contas):
  • Vou colocar os vértices do quadrado em coordenadas cartesianas como os pontos \bigl(\pm \tfrac{L}{2},\pm \tfrac{L}{2}\bigr). Assim o centro do quadrado é a origem (0,0).
  • Tomarei como vértice “vazio” o vértice no ponto \bigl(\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}\bigr). As três cargas q então ficam nos outros três vértices: \bigl(-\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}\bigr), \bigl(-\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2}\bigr) e \bigl(\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2}\bigr).
  • Usarei a constante eletrostática k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.

Passo 2

Princípios físicos que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
  • Lei de Coulomb (em módulo): a força eletrostática entre duas cargas puntuais q_1 e q_2 separadas por uma distância r tem módulo
F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}.
Explicação das variáveis: k é a constante eletrostática, q_1,q_2 são as cargas (com sinal), r é a distância entre elas. O módulo fornece só o tamanho; a direção é ao longo da reta que une as cargas e o sentido é de repulsão se as cargas têm o mesmo sinal, atração se sinais opostos.
  • Forma vetorial e superposição: a força total sobre uma carga é a soma vetorial das forças de cada outra carga (princípio da superposição). Se \vec F_i são as contribuições individuais, então
\vec F_{\text{resultante}}=\sum_i \vec F_i.
Cada \vec F_i tem direção da linha que une as cargas e sentido determinado pelo sinal (aqui cargas q>0 e carga alvo -3q<0 produzem sempre força de atração, isto é, vetores apontando da posição da carga alvo para a posição de cada carga q).

Passo 3

Preparação geométrica e cálculo de distâncias úteis.
  • Distância do centro do quadrado a qualquer vértice:
r_{\text{centro-vértice} }=\sqrt{\left(\tfrac{L}{2}\right)^2+\left(\tfrac{L}{2}\right)^2}=\frac{L}{\sqrt{2}}.é
  • Distância entre vértices adjacentes (mesma linha ou coluna) é L.
  • Distância entre vértices opostos (diagonal do quadrado) é L\sqrt{2}.
Esses valores vão aparecer no denominador da lei de Coulomb para cada par de carga.

Passo 4

Caso (a): carga -3q no centro do quadrado. Estratégia: calcular a força de cada q sobre -3q (mesmo módulo para as três), decompor em componentes e somar vetorialmente.
  • Distância do centro a cada carga q: peguei esse valor da geometria do quadrado, é r=\dfrac{L}{\sqrt{2}}.
  • Módulo da força de cada carga q sobre -3q:
F_0 = k\frac{|-3q\cdot q|}{r^2} = k\frac{3q^2}{\left(\dfrac{L}{\sqrt{2}}\right)^2} = k\frac{3q^2}{L^2/2} = k\frac{6q^2}{L^2}.
Explicando: usei r^2=(L^2)/2 e que |-3q\cdot q|=3q^2.
  • Direções das três forças: cada força é atração e aponta do centro para o vértice onde está cada q. Com as coordenadas escolhidas, os três vértices ocupados têm vetores posição (relativos ao centro):
    • \vec r_1=\bigl(-\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}\bigr),
    • \vec r_2=\bigl(-\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2}\bigr),
    • \vec r_3=\bigl(\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2}\bigr).
    Os versores (vetores unitários) na direção de cada força, do centro para esses vértices, são
    \hat u_1=\frac{(-1,1)}{\sqrt{2}},\qquad \hat u_2=\frac{(-1,-1)}{\sqrt{2}},\qquad \hat u_3=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}.
    (dividi cada vetor por sua magnitude \tfrac{L}{\sqrt{2}}).
  • Vetores das forças individuais:
    \vec F_i = F_0\,\hat u_i\quad (i=1,2,3).
  • Soma vetorial: calcule as componentes x e y.
    • Soma das componentes em x:
    F_x = F_0\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = F_0\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right).
    • Soma das componentes em y:
    F_y = F_0\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{-1}{\sqrt{2}}\right) = F_0\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right).
    Assim o vetor resultante é
    \vec F_{\text{(a)}} = F_0\frac{(-1,-1)}{\sqrt{2}}.
  • Módulo do vetor resultante:
    |\vec F_{\text{(a)}}| = F_0\sqrt{\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)^2} = F_0\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = F_0.
    Portanto, surpreendentemente, o módulo da resultante é igual ao módulo da força exercida por uma única carga q no centro.
  • Substituindo F_0:
    |\vec F_{\text{(a)}}| = k\frac{6q^2}{L^2}.
  • Direção e sentido: o vetor \vec F_{\text{(a)}} tem componentes negativas em x e y iguais; portanto aponta na direção do vetor (-1,-1), ou seja, ao longo da diagonal que vai do centro para o vértice \bigl(-\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2}\bigr) (o vértice inferior-esquerdo). Em ângulo medido a partir do eixo +x isso é \,225^\circ (ou direção com inclinação de 45^\circ abaixo do eixo negativo x). O sentido é de atração, puxando a carga -3q para aquele vértice.

Passo 5

Diagrama de corpo livre para o caso (a) (desenho esquemático, setas saindo do centro apontando para os três vértices ocupados). Aqui um desenho em caracteres para visualizar:
  • Coordenadas e vértices:
\begin{array}{c} \text{vértice }(-\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2})\; q\quad\quad\quad\quad\quad\quad q\text{ em }(\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2})\text{ está vazio}\\[4pt] \begin{array}{c} \quad\quad\quad\quad\quad\uparrow\\\ \quad q\quad\longleftarrow (\,0,0\,)\\ \,(-3q)\\ \longrightarrow\quad q\\\ \quad\quad\quad\quad\quad\downarrow \end{array} \end{array}éá
Legendas das forças (vetores apontando do centro para cada q):
  • \vec F_1 = F_0 \,\dfrac{(-1,1)}{\sqrt{2}} (para o vértice superior-esquerdo),
  • \vec F_2 = F_0 \,\dfrac{(-1,-1)}{\sqrt{2}} (para o inferior-esquerdo),
  • \vec F_3 = F_0 \,\dfrac{(1,-1)}{\sqrt{2}} (para o inferior-direito).
Resultado: soma aponta para o vértice inferior-esquerdo.]

Passo 6

Caso (b): carga -3q colocada no vértice vazio \bigl(\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}\bigr). Estratégia: calcular as três forças vindas das cargas nos outros vértices e somar vetorialmente.
Posições (relativas à carga alvo em (\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2})):
  • Carga em \bigl(-\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}\bigr): vetor deslocamento da carga alvo para essa carga é (-L,0), distância L.
  • Carga em \bigl(\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2}\bigr): vetor deslocamento é (0,-L), distância L.
  • Carga em \bigl(-\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2}\bigr): vetor deslocamento é (-L,-L), distância L\sqrt{2}.
Módulos das forças (lei de Coulomb, note atração):
  • Forças devidas às cargas adjacentes (distância L):
F_1 = k\frac{|-3q\cdot q|}{L^2} = k\frac{3q^2}{L^2}.
Há duas dessas (uma puxando para a esquerda, outra puxando para baixo).
  • Força devida à carga diagonal (distância L\sqrt{2}):
F_2 = k\frac{3q^2}{(L\sqrt{2})^2} = k\frac{3q^2}{2L^2} = \frac{3}{2}k\frac{q^2}{L^2}.
Essa força aponta ao longo da diagonal para (-1,-1), isto é, para dentro do quadrado em direção ao vértice oposto.
Agora decompondo e somando componentes (eixo +x para a direita, +y para cima):
  • Força da carga em \bigl(-\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}\bigr): \vec F_{\text{esq}} = (-F_1,\,0).
  • Força da carga em \bigl(\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2}\bigr): \vec F_{\text{baixo}} = (0,\,-F_1).
  • Força da carga diagonal em \bigl(-\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2}\bigr): direcionalmente é (-1,-1)/\sqrt{2}, então \vec F_{\text{diag}} = F_2\frac{(-1,-1)}{\sqrt{2}}=\left(-\frac{F_2}{\sqrt{2}},-\frac{F_2}{\sqrt{2}}\right).
Somando componentes:
F_x = -F_1 - \frac{F_2}{\sqrt{2}},\qquad F_y = -F_1 - \frac{F_2}{\sqrt{2}}.
Observação útil: as componentes x e y são iguais; portanto o vetor resultante aponta ao longo da diagonal (-1,-1) (ou seja, na direção do centro do quadrado), como era de se esperar pela geometria.
Módulo do resultado:
|\vec F_{\text{(b)}}| = \sqrt{F_x^2+F_y^2} = \sqrt{2}\,|F_x| = \sqrt{2}\left(F_1+\frac{F_2}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}F_1 + F_2.
Substituindo F_1 e F_2:
F_1 = k\frac{3q^2}{L^2},\qquad F_2 = k\frac{3q^2}{2L^2},
portanto
|\vec F_{\text{(b)}}| = \sqrt{2}\left(k\frac{3q^2}{L^2}\right) + \left(k\frac{3q^2}{2L^2}\right) = k\frac{3q^2}{2L^2}\bigl(2\sqrt{2}+1\bigr).
Isto é uma forma mais compacta. Também se pode escrever fatorando 3kq^2/L^2:
|\vec F_{\text{(b)}}| = k\frac{3q^2}{L^2}\Bigl(\sqrt{2}+\tfrac{1}{2}\Bigr).
Direção e sentido: como F_x=F_y<0, a força aponta na direção (-1,-1), i.e., ao longo da diagonal do vértice vazio em direção ao centro do quadrado (ou seja, “para dentro” do quadrado), no ângulo \,225^\circ medido desde o eixo +x — sentido atração para o interior.

Passo 7

Diagrama de corpo livre para o caso (b) (esquemático):
  • Posição da carga alvo no vértice superior-direito (\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}). Forças:
    • \vec F_{\text{esq}} = (-F_1,0) puxando para a esquerda (pela carga em (-\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2})).
    • \vec F_{\text{baixo}} = (0,-F_1) puxando para baixo (pela carga em (\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2})).
    • \vec F_{\text{diag}} = -\dfrac{F_2}{\sqrt{2}}(\hat i+\hat j) puxando na diagonal para dentro (pela carga em (-\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2})).
Esquematicamente em caracteres:
\begin{array}{c} q\\ \text{em }(-\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}) \longleftarrow \vec F_{\text{esq}} \\\ \quad\quad\quad\uparrow\\\ \quad (\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2})\;(-3q)\quad\downarrow \vec F_{\text{baixo}} \\\ \quad\quad\quad\searrow\\ \vec F_{\text{diag}} \end{array}
Resultado final: soma das três forças aponta para o interior ao longo da diagonal (-1,-1) com módulo dado acima.

Resposta

(a) |\vec F| = k\frac{6q^2}{L^2}. Direção: ao longo da diagonal que vai do centro para o vértice \bigl(-\tfrac{L}{2},-\tfrac{L}{2}\bigr) (ângulo 225^\circ a partir do eixo +x); sentido: atração para esse vértice.\n
(b) |\vec F| = k\frac{3q^2}{2L^2}\bigl(2\sqrt{2}+1\bigr). Direção: ao longo da diagonal (-1,-1), isto é, do vértice vazio em direção ao centro do quadrado (ângulo 225^\circ a partir do eixo +x); sentido: atração para o interior do quadrado.

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