21.71 • Três cargas puntiformes idênticas
são colocadas nos vértices de um quadrado de lado
. Calcule o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre uma carga puntiforme
colocada (a) no centro do quadrado; (b) no vértice vazio do quadrado. Em cada caso, faça um diagrama do corpo livre mostrando as forças que atuam sobre a carga
exercidas pelas outras três cargas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Três cargas puntiformes idênticas
estão colocadas em três vértices de um quadrado de lado . - Há uma quarta carga puntiforme de valor
que será colocada em dois casos distintos: (a) no centro do quadrado; (b) no vértice vazio do quadrado.
- Três cargas puntiformes idênticas
- O que o enunciado pede, em cada caso:
- Calcular o módulo da força resultante sobre a carga
. - Determinar a direção e o sentido (ou seja, para onde aponta) da força resultante.
- Fazer um diagrama de corpo livre mostrando as forças exercidas sobre
pelas três cargas .
- Calcular o módulo da força resultante sobre a carga
Observações claras das condições que vou usar (posicionamento conveniente para facilitar contas):
- Vou colocar os vértices do quadrado em coordenadas cartesianas como os pontos
. Assim o centro do quadrado é a origem . - Tomarei como vértice “vazio” o vértice no ponto
. As três cargas então ficam nos outros três vértices: , e . - Usarei a constante eletrostática
.
Passo 2
Princípios físicos que vou usar (aulas rápidas e intuitivas).
- Lei de Coulomb (em módulo): a força eletrostática entre duas cargas puntuais
e separadas por uma distância tem módulo
Explicação das variáveis:
é a constante eletrostática,
são as cargas (com sinal),
é a distância entre elas. O módulo fornece só o tamanho; a direção é ao longo da reta que une as cargas e o sentido é de repulsão se as cargas têm o mesmo sinal, atração se sinais opostos.
- Forma vetorial e superposição: a força total sobre uma carga é a soma vetorial das forças de cada outra carga (princípio da superposição). Se
são as contribuições individuais, então
Cada
tem direção da linha que une as cargas e sentido determinado pelo sinal (aqui cargas
e carga alvo
produzem sempre força de atração, isto é, vetores apontando da posição da carga alvo para a posição de cada carga
).
Passo 3
Preparação geométrica e cálculo de distâncias úteis.
- Distância do centro do quadrado a qualquer vértice:
-
Distância entre vértices adjacentes (mesma linha ou coluna) é
. -
Distância entre vértices opostos (diagonal do quadrado) é
.
Esses valores vão aparecer no denominador da lei de Coulomb para cada par de carga.
Passo 4
Caso (a): carga
no centro do quadrado. Estratégia: calcular a força de cada
sobre
(mesmo módulo para as três), decompor em componentes e somar vetorialmente.
-
Distância do centro a cada carga
: peguei esse valor da geometria do quadrado, é . -
Módulo da força de cada carga
sobre :
Explicando: usei
e que
.
-
Direções das três forças: cada força é atração e aponta do centro para o vértice onde está cada
. Com as coordenadas escolhidas, os três vértices ocupados têm vetores posição (relativos ao centro): -
, -
, -
.
Os versores (vetores unitários) na direção de cada força, do centro para esses vértices, são(dividi cada vetor por sua magnitude). -
-
Vetores das forças individuais:
-
Soma vetorial: calcule as componentes
e . - Soma das componentes em
:
- Soma das componentes em
:
Assim o vetor resultante é - Soma das componentes em
-
Módulo do vetor resultante:Portanto, surpreendentemente, o módulo da resultante é igual ao módulo da força exercida por uma única carga
no centro. -
Substituindo
: -
Direção e sentido: o vetor
tem componentes negativas em e iguais; portanto aponta na direção do vetor , ou seja, ao longo da diagonal que vai do centro para o vértice (o vértice inferior-esquerdo). Em ângulo medido a partir do eixo isso é (ou direção com inclinação de abaixo do eixo negativo ). O sentido é de atração, puxando a carga para aquele vértice.
Passo 5
Diagrama de corpo livre para o caso (a) (desenho esquemático, setas saindo do centro apontando para os três vértices ocupados). Aqui um desenho em caracteres para visualizar:
- Coordenadas e vértices:
Legendas das forças (vetores apontando do centro para cada
):
-
(para o vértice superior-esquerdo), -
(para o inferior-esquerdo), -
(para o inferior-direito).
Resultado: soma aponta para o vértice inferior-esquerdo.]
Passo 6
Caso (b): carga
colocada no vértice vazio
. Estratégia: calcular as três forças vindas das cargas nos outros vértices e somar vetorialmente.
Posições (relativas à carga alvo em
):
- Carga em
: vetor deslocamento da carga alvo para essa carga é , distância . - Carga em
: vetor deslocamento é , distância . - Carga em
: vetor deslocamento é , distância .
Módulos das forças (lei de Coulomb, note atração):
- Forças devidas às cargas adjacentes (distância
):
Há duas dessas (uma puxando para a esquerda, outra puxando para baixo).
- Força devida à carga diagonal (distância
):
Essa força aponta ao longo da diagonal para
, isto é, para dentro do quadrado em direção ao vértice oposto.
Agora decompondo e somando componentes (eixo
para a direita,
para cima):
- Força da carga em
: . - Força da carga em
: . - Força da carga diagonal em
: direcionalmente é , então
Somando componentes:
Observação útil: as componentes
e
são iguais; portanto o vetor resultante aponta ao longo da diagonal
(ou seja, na direção do centro do quadrado), como era de se esperar pela geometria.
Módulo do resultado:
Substituindo
e
:
portanto
Isto é uma forma mais compacta. Também se pode escrever fatorando
:
Direção e sentido: como
, a força aponta na direção
, i.e., ao longo da diagonal do vértice vazio em direção ao centro do quadrado (ou seja, “para dentro” do quadrado), no ângulo
medido desde o eixo
— sentido atração para o interior.
Passo 7
Diagrama de corpo livre para o caso (b) (esquemático):
- Posição da carga alvo no vértice superior-direito
. Forças: -
puxando para a esquerda (pela carga em ). -
puxando para baixo (pela carga em ). -
puxando na diagonal para dentro (pela carga em ).
-
Esquematicamente em caracteres:
Resultado final: soma das três forças aponta para o interior ao longo da diagonal
com módulo dado acima.
Resposta
(a)
. Direção: ao longo da diagonal que vai do centro para o vértice
(ângulo
a partir do eixo
); sentido: atração para esse vértice.\n
(b) . Direção: ao longo da diagonal
, isto é, do vértice vazio em direção ao centro do quadrado (ângulo
a partir do eixo
); sentido: atração para o interior do quadrado.
(b)