21.75 • PC Considere um modelo de um átomo de hidrogênio em que um elétron possui uma órbita circular de raio r=5,29 \times 10^{-11} \mathrm{~m} em torno de um próton fixo. Qual é o módulo da velocidade escalar desse elétron em sua órbita?

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Raio da órbita do elétron: r=5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m} (peguei este valor do enunciado).
  • O próton está fixo e o elétron descreve uma órbita circular de raio r.
    A pergunta é: qual é o módulo da velocidade escalar (ou seja, a rapidez) do elétron nessa órbita?

Passo 2

Vamos pensar no equilíbrio de forças que mantém o elétron em órbita circular. A força elétrica de atração coulombiana entre próton e elétron fornece a força centrípeta necessária para a órbita circular. Escrevendo isso:
F_{\text{coulomb}} = F_{\text{centripeta}}.
Agora escrevemos cada uma das forças com suas fórmulas e explico cada símbolo:
  • A força elétrica (módulo) entre duas cargas puntiformes é dada por a lei de Coulomb:
F_{\text{coulomb}} = k\,\frac{e^{2}}{r^{2}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática e e é a carga elementar (módulo da carga do elétron).
  • A força centrípeta necessária para manter uma massa m movendo-se em círculo de raio r com velocidade v é
F_{\text{centripeta}} = m\,\frac{v^{2}}{r},
onde m é a massa do elétron e v sua velocidade escalar (o que queremos achar).

Passo 3

Igualando as duas forças:
k\,\frac{e^{2}}{r^{2}} = m\,\frac{v^{2}}{r}.
Agora isolamos v. Multiplicando ambos os lados por r e dividindo por m:
v^{2} = \frac{k\,e^{2}}{m\,r}.
Tomando raiz quadrada para obter a velocidade:
v = \sqrt{\frac{k\,e^{2}}{m\,r}}.
Explicando as variáveis:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática (em SI: \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}),
  • e é a carga do elétron (módulo),
  • m é a massa do elétron,
  • r é o raio da órbita (dado).

Passo 4

Agora vamos substituir valores numéricos (valores padrão SI):
  • k=8,9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},
  • e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
  • m=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
  • r=5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m} (do enunciado).
Calculo passo a passo (sempre em notação científica):
  1. Primeiro e^{2}:
e^{2}=(1,602176634\times10^{-19})^{2}=2,5669699\times10^{-38}.
  1. Em seguida k\,e^{2}:
k\,e^{2}=(8,9875517923\times10^{9})\times(2,5669699\times10^{-38})=2,3070776\times10^{-28}.
  1. Agora o produto m\,r:
m\,r=(9,10938356\times10^{-31})\times(5,29\times10^{-11})=4,8188639\times10^{-41}.
  1. Dividindo:
\frac{k\,e^{2}}{m\,r}=\frac{2,3070776\times10^{-28}}{4,8188639\times10^{-41}}=4,7877407\times10^{12}.
  1. Finalmente a raiz quadrada para obter v:
v=\sqrt{4,7877407\times10^{12}}=2,187691\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Arredondando de forma prática (e lembrando que dados físicos geralmente são apresentados com três algarismos significativos), obtemos
v\approx2,19\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Uma observação de ordem de grandeza útil para a prova: esse valor corresponde a cerca de 0,73\% da velocidade da luz (ou seja, v\approx0,0073\,c), mostrando que não precisamos de relatividade aqui — a aproximação clássica/Bohr é consistente.

Resposta

2,19\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}

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