21.75 • PC Considere um modelo de um átomo de hidrogênio em que um elétron possui uma órbita circular de raio
em torno de um próton fixo. Qual é o módulo da velocidade escalar desse elétron em sua órbita?
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- Raio da órbita do elétron:
(peguei este valor do enunciado). - O próton está fixo e o elétron descreve uma órbita circular de raio
.
A pergunta é: qual é o módulo da velocidade escalar (ou seja, a rapidez) do elétron nessa órbita?
Passo 2
Vamos pensar no equilíbrio de forças que mantém o elétron em órbita circular. A força elétrica de atração coulombiana entre próton e elétron fornece a força centrípeta necessária para a órbita circular. Escrevendo isso:
Agora escrevemos cada uma das forças com suas fórmulas e explico cada símbolo:
- A força elétrica (módulo) entre duas cargas puntiformes é dada por a lei de Coulomb:
onde
é a constante eletrostática e
é a carga elementar (módulo da carga do elétron).
- A força centrípeta necessária para manter uma massa
movendo-se em círculo de raio com velocidade é
onde
é a massa do elétron e
sua velocidade escalar (o que queremos achar).
Passo 3
Igualando as duas forças:
Agora isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Tomando raiz quadrada para obter a velocidade:
Explicando as variáveis:
-
é a constante eletrostática (em SI: ), -
é a carga do elétron (módulo), -
é a massa do elétron, -
é o raio da órbita (dado).
Passo 4
Agora vamos substituir valores numéricos (valores padrão SI):
-
, -
, -
, -
(do enunciado).
Calculo passo a passo (sempre em notação científica):
- Primeiro
:
- Em seguida
:
- Agora o produto
:
- Dividindo:
- Finalmente a raiz quadrada para obter
:
Passo 5
Arredondando de forma prática (e lembrando que dados físicos geralmente são apresentados com três algarismos significativos), obtemos
Uma observação de ordem de grandeza útil para a prova: esse valor corresponde a cerca de
da velocidade da luz (ou seja,
), mostrando que não precisamos de relatividade aqui — a aproximação clássica/Bohr é consistente.