21.97 CALC Duas hastes estreitas de comprimento
estão sobre o eixo
, uma delas entre os pontos
e
a outra entre os pontos
e
. Cada haste possui uma carga
distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. (a) Calcule o campo elétrico produzido pela segunda haste nos pontos situados ao longo da parte positiva do eixo
. (b) Mostre que o módulo da força que uma haste exerce sobre a outra é dado por
Passo 1
O enunciado descreve duas hastes finas, cada uma de comprimento
e carga total
uniformemente distribuída. A primeira está ao redor de
(de
até
) e a segunda ao redor de
(de
até
).
Conteúdo: cálculo de campo de uma distribuição linear e força elétrica entre distribuições lineares.
Vamos (a) achar o campo da haste esquerda nos pontos e (b) integrar esse campo sobre a carga da haste direita para obter a força mutua.
Conteúdo: cálculo de campo de uma distribuição linear e força elétrica entre distribuições lineares.
Vamos (a) achar o campo da haste esquerda nos pontos
Passo 2
Definimos a densidade linear
Num ponto
o campo gerado pela haste que vai de
até
vale
Como para todo
do segmento temos
, simplifica-se para
e o campo aponta ao longo de
.
Passo 3
Avaliamo a integral:
Logo o campo no ponto
é
Passo 4
Para obter a força que a haste da esquerda exerce na haste da direita, cada elemento
da haste direita em
sofre a força
. Como tudo está ao longo de
, o módulo da força total é
Passo 5
Calculamos as duas integrais logarítmicamente:
Portanto
Como
e consideramos o módulo, escrevemos finalmente
Resposta
(a)
(b)