21.97 CALC Duas hastes estreitas de comprimento L estão sobre o eixo x, uma delas entre os pontos x=12 a e x=12 a+L e a outra entre os pontos x=-12 a e x=-12 a-L. Cada haste possui uma carga Q distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. (a) Calcule o campo elétrico produzido pela segunda haste nos pontos situados ao longo da parte positiva do eixo x. (b) Mostre que o módulo da força que uma haste exerce sobre a outra é dado por
F=Q^24 pi epsilon0 L^2 ln [(a+L)^2a(a+2 L)]

Passo 1

O enunciado descreve duas hastes finas, cada uma de comprimento L e carga total Q uniformemente distribuída. A primeira está ao redor de x=-tfrac a2 (de x=-tfrac a2-L até x=-tfrac a2) e a segunda ao redor de x=+tfrac a2 (de x=+tfrac a2 até x=+tfrac a2+L).
Conteúdo: cálculo de campo de uma distribuição linear e força elétrica entre distribuições lineares.
Vamos (a) achar o campo da haste esquerda nos pontos x>0 e (b) integrar esse campo sobre a carga da haste direita para obter a força mutua.

Passo 2

Definimos a densidade linear
lambda = QL,
Num ponto x>0 o campo gerado pela haste que vai de x'=-tfrac a2-L até x'=-tfrac a2 vale
E(x)=14piepsilon0integralx'=-tfrac a2-L^-tfrac a2lambda,x - x'|x-x'|^3,dx'
Como para todo x' do segmento temos x-x'>0, simplifica-se para
E(x)=lambda4piepsilon0integral-tfrac a2-L^-tfrac a2dx'(x-x')^2,,
e o campo aponta ao longo de +x.

Passo 3

Avaliamo a integral:
integral-tfrac a2-L^-tfrac a2dx'(x-x')^2 =[,-1x-x']x'=-tfrac a2-L^-tfrac a2 =1,x+tfrac a2+L,-1,x+tfrac a2,
Logo o campo no ponto x>0 é
boxedE(x)=lambda4piepsilon0l(1x+tfrac a2+L-1x+tfrac a2r), x

Passo 4

Para obter a força que a haste da esquerda exerce na haste da direita, cada elemento dq=lambda,dx da haste direita em xin[tfrac a2,tfrac a2+L] sofre a força dF=dq,E(x). Como tudo está ao longo de x, o módulo da força total é
F=integraltfrac a2^tfrac a2+Llambda,E(x),dx =lambda^24piepsilon0 integraltfrac a2^tfrac a2+Ll(1x+tfrac a2+L-1x+tfrac a2r),dx

Passo 5

Calculamos as duas integrais logarítmicamente:
integraltfrac a2^tfrac a2+Ldxx+tfrac a2+L =lntfrac a2+L+tfrac a2+Ltfrac a2+tfrac a2+L =lna+2La+L,
integraltfrac a2^tfrac a2+Ldxx+tfrac a2 =lntfrac a2+L+tfrac a2tfrac a2+tfrac a2 =lna+La
Portanto
F=lambda^24piepsilon0l[ lna+2La+L-lna+La r] =lambda^24piepsilon0ln(a+2L),a(a+L)^2
Como lambda=Q/L e consideramos o módulo, escrevemos finalmente

Resposta

(a)
E(x)=Q4piepsilon0,Ll(1x+tfrac a2+L-1x+tfrac a2r), x, x>0
(b)
F=Q^24piepsilon0,L^2,ln!l[(a+L)^2a,(a+2L)r]

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