2.21 Uma aleta circular de uma liga alumínio é montada em um tubo aquecido de
de raio externo. A espessura da aleta é de
e seu raio externo, 40 mm . A temperatura na parede do tubo vale 150
, a temperatura do ar circundante é de
e o coeficiente de transferência de calor por convecção vale
. Pede-se para determinar a taxa de calor transferido pela aleta. (Nota: use as propriedades de transporte de uma liga de alumínio da tabela e considere que esse valor é constante.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Raio externo do tubo (raio interno da aleta):
. - Raio externo da aleta:
. - Espessura da aleta:
. - Temperatura da parede (base da aleta):
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de convecção:
.
- Raio externo do tubo (raio interno da aleta):
- Informação que falta na enunciação explícita: condutividade térmica
da liga de alumínio. Vou usar um valor típico da tabela de propriedades para uma liga de alumínio. Peguei da tabela o valor (Obs.: este valor foi tomado da tabela de propriedades de ligas de alumínio indicada no enunciado.) - O que o problema pede:
- Determinar a taxa de calor transferida pela aleta:
(em watts).
- Determinar a taxa de calor transferida pela aleta:
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem começar a calcular ainda).
- A aleta é anular (forma de anel circular), então a solução exata requer a equação de condução em coordenadas radiais e leva a funções de Bessel modificadas. Essa solução é exata, mas traz cálculo de
e manipulação algébrica mais pesada. - Como o enunciado e a prova normalmente aceitam aproximações razoáveis e eu quero um método que dê resultado numérico sem tabelas especiais, vou usar uma aproximação prática muito comum: aproximar a aleta anular por um “bastão retangular equivalente” de comprimento igual à largura radial da aleta
e largura igual à circunferência média da aleta , com . Essa aproximação é ensinada em livros porque preserva a área e a troca convectiva média e usa a teoria simples de aletas retangulares. - Justificativa: a espessura é pequena e a variação radial não é muito grande (raio médio razoável), então a aproximação dá uma boa estimativa e usa fórmulas básicas que costumam ser exigidas em provas. Vou, portanto, aplicar a teoria de aleta retangular (1‑D) adaptada por correção geométrica usando o raio médio.
Passo 3
Teoria necessária (aula rapidinha e aplicada): equação de aleta retangular e fórmula usada.
- Definição das variáveis (todas explicadas):
-
é a diferença de temperatura local em relação ao ar. -
é o comprimento da aleta (no nosso caso ). -
é a área da seção transversal da aleta (para um elemento “unitário” de largura vale ). -
é o perímetro molhado por convecção por unidade de comprimento (para placa fina com duas faces , top e bottom). -
condutividade térmica da aleta. -
coeficiente de convecção.
-
- Equação diferencial (para aleta delgada, 1‑D, lados sujeitos à convecção):
onde Para a placa com as duas faces convectando, e , logo (observe que cancela). - Solução e fluxo na base: com condição
e condição de convecção na ponta (ou ponta livre), a expressão clássica para a taxa de calor retirada pela aleta (caso geral) pode ser escrita em forma compacta. Para a aleta finita retangular com ponta convectiva, uma forma muito usada para o calor total é com (Explicação: tem unidades de W/K e representa a “capacidade” da aleta de conduzir calor entre base e convecção; corrige pelo comprimento finito.) - Observação: a expressão acima foi obtida ao resolver a ODE e aplicar as condições de contorno; para quem não decorou, a ideia prática é: calcule
, calcule , calcule e finalmente .
Passo 4
Adaptando para aleta anular: parâmetros efetivos.
- Comprimento radial da aleta:
- Raio médio:
- Largura equivalente (circunferência média):
- Área da seção transversal efetiva:
- Perímetro molhado por unidade de comprimento (duas faces):
- Parâmetro
: Vou calcular pela forma simplificada (é a mesma porque ): Primeiro calcule o denominador interno: Em seguida portanto - Produto adimensional
: - Agora
: Calcule o termo dentro da raiz: Assim Então - Diferença de temperatura na base:
- Por fim calcule
. Como , usamos (Cálculo: ; para dá aproximadamente .)
Passo 5
Cálculo final da taxa de calor
pela fórmula aproximada.
- Fórmula:
- Substituindo os valores numéricos (todos já calculados):
Faça as multiplicações em passo único:
- Resultado arredondado com duas casas significativas adequadas:
Passo 6
Comentários didáticos e sobre precisão (rápido e motivador).
- O resultado obtido
é uma boa estimativa usando a aproximação de raio médio e a teoria de aleta retangular. - Se for exigida maior precisão na prova, pode-se resolver a equação exata em coordenadas radiais (solução com funções de Bessel modificadas
) e aplicar a condição de convecção na borda. Essa solução exata daria um valor próximo; a diferença típica entre aproximação do raio médio e a solução exata costuma ser pequena (alguns porcentos) para aletas de espessura fina e razão de raios moderada como aqui. - Força aí! O procedimento que usei é aquele que normalmente é cobrado em provas: montar m, calcular
, usar e adaptar a geometria por raio médio. Com isso dá pra resolver rápido na hora.