Prove as seguintes relações para o sistema binário:
j_{1}^{u}+j_{2}^{u}=\rho(v-u)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
j_{1}^{u}+j_{2}^{u}=\rho(v-u).
Informações relevantes (definições que vamos usar, todas apresentadas como dadas para o sistema binário):
  • Densidades parciais das espécies: \rho_{1} e \rho_{2}.
  • Densidade total: \rho=\rho_{1}+\rho_{2}.
  • Velocidades das espécies: v_{1} e v_{2}.
  • Velocidade média de massa (velocidade baricêntrica) definida por
v=\frac{\rho_{1}v_{1}+\rho_{2}v_{2}}{\rho}.
  • Fluxo de massa da espécie i relativo a uma velocidade de referência u definido por
j_{i}^{u}=\rho_{i}(v_{i}-u),\qquad i=1,2.

Passo 2

Vamos somar as definições de j_{1}^{u} e j_{2}^{u}. Usando diretamente j_{i}^{u}=\rho_{i}(v_{i}-u) obtemos a soma:
j_{1}^{u}+j_{2}^{u}=\rho_{1}(v_{1}-u)+\rho_{2}(v_{2}-u).

Passo 3

Distribuímos os termos na soma para agrupar as parcelas com v_{1},v_{2} e com u:
j_{1}^{u}+j_{2}^{u}=(\rho_{1}v_{1}+\rho_{2}v_{2})-(\rho_{1}+\rho_{2})\,u.

Passo 4

Reconhecemos nas somas os termos já definidos em Passo 1: \rho_{1}+\rho_{2}=\rho e \rho_{1}v_{1}+\rho_{2}v_{2}=\rho\,v (pela definição de v). Substituindo esses reconhecimentos na expressão do Passo 3 obtemos
j_{1}^{u}+j_{2}^{u}=\rho\,v-\rho\,u=\rho\,(v-u).

Passo 5

Comentário rápido para fixar a intuição: a soma dos fluxos de massa das duas espécies, medida em uma referência com velocidade u, é igual ao fluxo de massa total \rho v visto nessa mesma referência menos a parcela advectiva \rho u; o resultado compacto é \rho(v-u). Como checagem simples, se escolhermos u=v (referência baricêntrica) a soma dos fluxos difusivos cai para zero, isto é,
j_{1}^{v}+j_{2}^{v}=0,
o que é compatível com a definição de fluxo difusivo em torno da velocidade média de massa.

Resposta

\;j_{1}^{u}+j_{2}^{u}=\rho(v-u)\;

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