1. Partindo das definições dos fluxos de difusão mássica no referencial de velocidade média mássica e no referencial de velocidade média molar (Tabela 3 - Pré-aula 01), verifique as equações abaixo escritas na forma de matriz \mathrm{n}-1 dimensional como:
\begin{aligned} & (\boldsymbol{j})=\left[\boldsymbol{B}^{0 u}\right]\left(\boldsymbol{j}^{u}\right) \\\ & \left(\boldsymbol{j}^{u}\right)=\left[\boldsymbol{B}^{u 0}\right](\boldsymbol{j}) \end{aligned}
Dica: Use a notação matricial para demonstrar a relação inversa e mostre que \left[\boldsymbol{B}^{u 0}\right]= \left[B^{0 u}\right]^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que vamos usar\n
  • O enunciado pede para verificar as relações matriciais
(\boldsymbol{j})=\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]\left(\boldsymbol{j}^{u}\right), \qquad \left(\boldsymbol{j}^{u}\right)=\left[\boldsymbol{B}^{u0}\right](\boldsymbol{j}),
e mostrar que \left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]=\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]^{-1} quando as matrizes são representadas no espaço de dimensão n-1.\n
  • Informações/definições que usarei (são as definições padrão de fluxo de difusão):
    • velocidade de cada espécie: \boldsymbol{v}_i;
    • velocidade média mássica (mass-average velocity): \boldsymbol{v}, tal que \sum_i \rho_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0};
    • velocidade média molar (molar-average velocity): \boldsymbol{u}, tal que \sum_i c_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u})=\boldsymbol{0};
    • fluxo de difusão em referencial de velocidade média mássica: \boldsymbol{j}_i=\rho_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v});
    • fluxo de difusão em referencial de velocidade média molar: \boldsymbol{j}_i^{u}=c_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u}).
  • Notações e quantidades auxiliares:
    • massa específica de espécie i: \rho_i;
    • concentração molar de espécie i: c_i;
    • massa molar de i: M_i (com \rho_i=M_i c_i);
    • fração mássica: w_i=\dfrac{\rho_i}{\rho} com \rho=\sum_i\rho_i;
    • fração molar: x_i=\dfrac{c_i}{c} com c=\sum_i c_i.
  • Observação importante (relevante na prova): tanto \sum_i \boldsymbol{j}_i=\boldsymbol{0} quanto \sum_i \boldsymbol{j}_i^{u}=\boldsymbol{0}. Por isso devemos trabalhar no subespaço de vetores cujas componentes somam zero — é aí que as matrizes serão invertíveis (dimensão n-1).

Passo 2

Derivar a relação \boldsymbol{j}=\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]\boldsymbol{j}^{u} passo a passo, com explicações didáticas\n
  • Começo escrevendo a diferença entre velocidades de uma forma útil:
\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u})+(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}).
Isto é apenas decompor a diferença em duas partes conhecidas.\n
  • Agora multiplico por \rho_i para usar a definição de \boldsymbol{j}_i:
\boldsymbol{j}_i=\rho_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}) =\rho_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u})+\rho_i(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}).
  • Note que \rho_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u}) pode ser escrito usando \boldsymbol{j}_i^{u}=c_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u}) e \rho_i=M_i c_i. Assim:
\rho_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u})=M_i\,\boldsymbol{j}_i^{u}.
Portanto
\boldsymbol{j}_i = M_i\,\boldsymbol{j}_i^{u} + \rho_i(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}).
  • Agora precisamos eliminar \boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}. Use a condição \sum_i\boldsymbol{j}_i=\boldsymbol{0}. Somando a relação acima sobre i obtemos
\sum_i \boldsymbol{j}_i = \sum_i M_i \boldsymbol{j}_i^{u} + \sum_i \rho_i(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0}.
Como \sum_i \rho_i=\rho (densidade total), isto dá
\rho(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}) = -\sum_k M_k \boldsymbol{j}_k^{u}.
Logo
\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} = -\dfrac{1}{\rho}\sum_k M_k \boldsymbol{j}_k^{u}.
  • Substituindo de volta em \boldsymbol{j}_i:
\boldsymbol{j}_i = M_i \boldsymbol{j}_i^{u} - \rho_i\left(\dfrac{1}{\rho}\sum_k M_k \boldsymbol{j}_k^{u}\right) = M_i \boldsymbol{j}_i^{u} - w_i\sum_k M_k \boldsymbol{j}_k^{u}.
Essa é uma relação linear entre os vetores \boldsymbol{j} e \boldsymbol{j}^{u}.\n
  • Colocando em forma matricial (componentes i,k=1,\dots,n, lembrando que trabalharemos efetivamente em dimensão n-1 eliminando a última componente):
\boldsymbol{j}=\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]\boldsymbol{j}^{u},
com elementos da matriz dados por
\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]_{ik} = M_i\delta_{ik}-w_i M_k.
Comentário intuitivo: a matriz é a diferença entre a matriz diagonal \mathrm{diag}(M_i) e a matriz de posto 1 definida por w\,M^{T}. Essa matriz tem posto n-1 porque a direção (1,1,\dots,1)^T está associada à condição de soma zero.

Passo 3

Derivar a relação inversa \boldsymbol{j}^{u}=\left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]\boldsymbol{j} da mesma forma, mostrando a expressão explícita de \left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]\n
  • Começo a partir de \boldsymbol{j}_i^{u}=c_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u}). Use a decomposição \boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u}=(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v})+(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}) e lembre que \boldsymbol{j}_i=\rho_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}). Assim:
\boldsymbol{j}_i^{u}=c_i(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u}) = c_i\left(\dfrac{\boldsymbol{j}_i}{\rho_i}\right) + c_i(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}).
  • Como \dfrac{c_i}{\rho_i}=\dfrac{1}{M_i}, obtemos
\boldsymbol{j}_i^{u}=\dfrac{1}{M_i}\boldsymbol{j}_i + c_i(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}).
  • Eliminar \boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}: some sobre i e use \sum_i\boldsymbol{j}_i^{u}=\boldsymbol{0}:
\boldsymbol{0}=\sum_i \boldsymbol{j}_i^{u} = \sum_i \dfrac{1}{M_i}\boldsymbol{j}_i + \sum_i c_i(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}) = \sum_i \dfrac{1}{M_i}\boldsymbol{j}_i + c(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}).
Logo
\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u} = -\dfrac{1}{c}\sum_k \dfrac{1}{M_k}\boldsymbol{j}_k.
  • Substituindo em \boldsymbol{j}_i^{u}:
\boldsymbol{j}_i^{u} = \dfrac{1}{M_i}\boldsymbol{j}_i - c_i\left(\dfrac{1}{c}\sum_k \dfrac{1}{M_k}\boldsymbol{j}_k\right) = \dfrac{1}{M_i}\boldsymbol{j}_i - x_i\sum_k \dfrac{1}{M_k}\boldsymbol{j}_k.
  • Em forma matricial:
\boldsymbol{j}^{u} = \left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]\boldsymbol{j},
com elementos
\left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]_{ik} = \dfrac{1}{M_i}\delta_{ik} - x_i \dfrac{1}{M_k}.
Em notação matricial compacta, \left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]=\mathrm{diag}(1/M_i)- x\,(1/M)^{T}.

Passo 4

Mostrar que \left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]=\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]^{-1} no espaço de dimensão n-1 (verificando o produto)\n
  • Trabalhemos com as formas de matriz:
\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]=D_M - w M^{T},\qquad \left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]=D_{1/M}- x (1/M)^{T},
onde D_M=\mathrm{diag}(M_i), D_{1/M}=\mathrm{diag}(1/M_i), M é o vetor coluna (M_i) e (1/M) é o vetor (1/M_i).\n
  • Calcule o produto:
\begin{aligned} \left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]\left[\boldsymbol{B}^{u0}\right] &=(D_M - w M^{T})(D_{1/M}- x (1/M)^{T})\\\ &=D_MD_{1/M} - D_M x (1/M)^{T} - w M^{T}D_{1/M} + w M^{T} x (1/M)^{T}. \end{aligned}
  • Simplifique cada termo:
    • D_MD_{1/M}=I (identidade).
    • D_M x é o vetor com componentes M_i x_i.
    • M^{T}D_{1/M} é o vetor linha de componentes M_k\cdot(1/M_k)=1, isto é, a linha de uns 1^{T}.
    • M^{T}x=\sum_k M_k x_k. Note que M_k x_k=\rho_k/c, então \sum_k M_k x_k=\rho/c.
  • Substituindo, obtemos
\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]\left[\boldsymbol{B}^{u0}\right] = I - (D_M x)(1/M)^{T} - w 1^{T} + w\frac{\rho}{c}(1/M)^{T}.
  • Observe que M_i x_i=\rho_i/c = (\rho/c)w_i. Assim o elemento (i,\ell) do segundo termo é
(D_M x)_i (1/M_\ell) = M_i x_i \dfrac{1}{M_\ell} = \dfrac{\rho}{c} w_i \dfrac{1}{M_\ell},
e o último termo tem elemento
w_i\frac{\rho}{c}\frac{1}{M_\ell} = \dfrac{\rho}{c} w_i \dfrac{1}{M_\ell}.
Portanto estes dois termos se cancelam exatamente, deixando
\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]\left[\boldsymbol{B}^{u0}\right] = I - w 1^{T}.
  • Agora a chave: em nosso espaço físico de interesse os vetores \boldsymbol{j}^{u} e \boldsymbol{j} satisfazem soma de componentes nula, isto é 1^{T}\boldsymbol{j}^{u}=0 e 1^{T}\boldsymbol{j}=0. Então, ao aplicar \left(I - w1^{T}\right) sobre qualquer vetor com soma de componentes zero, o termo w1^{T} anula-se porque 1^{T}(\cdot)=0. Logo, restrito ao subespaço de dimensão n-1 (somatório zero), tem-se
\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]\left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]=I.
Analogamente pode-se verificar que \left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]=I naquele subespaço (o produto dá I-x1^{T}, que age como identidade sobre vetores soma-zero).\n
  • Conclusão: \left[\boldsymbol{B}^{u0}\right] é realmente a inversa de \left[\boldsymbol{B}^{0u}\right] quando consideramos a representação em dimensão n-1 (o subespaço dos fluxos cuja soma é zero). Portanto
\left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]=\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]^{-1}
no espaço físico correto.

Resposta

\displaystyle \left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]_{ik}=M_i\delta_{ik}-w_iM_k,\qquad \left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]_{ik}=\dfrac{1}{M_i}\delta_{ik}-x_i\dfrac{1}{M_k},\qquad \left[\boldsymbol{B}^{u0}\right]=\left[\boldsymbol{B}^{0u}\right]^{-1}

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