- Partindo das definições dos fluxos de difusão mássica no referencial de velocidade média mássica e no referencial de velocidade média molar (Tabela 3 - Pré-aula 01), verifique as equações abaixo escritas na forma de matriz
dimensional como:
Dica: Use a notação matricial para demonstrar a relação inversa e mostre que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que vamos usar\n
- O enunciado pede para verificar as relações matriciais
e mostrar que
quando as matrizes são representadas no espaço de dimensão
.\n
- Informações/definições que usarei (são as definições padrão de fluxo de difusão):
- velocidade de cada espécie:
; - velocidade média mássica (mass-average velocity):
, tal que ; - velocidade média molar (molar-average velocity):
, tal que ; - fluxo de difusão em referencial de velocidade média mássica:
; - fluxo de difusão em referencial de velocidade média molar:
.
- velocidade de cada espécie:
- Notações e quantidades auxiliares:
- massa específica de espécie
: ; - concentração molar de espécie
: ; - massa molar de
: (com ); - fração mássica:
com ; - fração molar:
com .
- massa específica de espécie
- Observação importante (relevante na prova): tanto
quanto . Por isso devemos trabalhar no subespaço de vetores cujas componentes somam zero — é aí que as matrizes serão invertíveis (dimensão ).
Passo 2
Derivar a relação
passo a passo, com explicações didáticas\n
- Começo escrevendo a diferença entre velocidades de uma forma útil:
Isto é apenas decompor a diferença em duas partes conhecidas.\n
- Agora multiplico por
para usar a definição de :
- Note que
pode ser escrito usando e . Assim:
Portanto
- Agora precisamos eliminar
. Use a condição . Somando a relação acima sobre obtemos
Como
(densidade total), isto dá
Logo
- Substituindo de volta em
:
Essa é uma relação linear entre os vetores
e
.\n
- Colocando em forma matricial (componentes
, lembrando que trabalharemos efetivamente em dimensão eliminando a última componente):
com elementos da matriz dados por
Comentário intuitivo: a matriz é a diferença entre a matriz diagonal
e a matriz de posto 1 definida por
. Essa matriz tem posto
porque a direção
está associada à condição de soma zero.
Passo 3
Derivar a relação inversa
da mesma forma, mostrando a expressão explícita de
\n
- Começo a partir de
. Use a decomposição e lembre que . Assim:
- Como
, obtemos
- Eliminar
: some sobre e use :
Logo
- Substituindo em
:
- Em forma matricial:
com elementos
Em notação matricial compacta,
.
Passo 4
Mostrar que
no espaço de dimensão
(verificando o produto)\n
- Trabalhemos com as formas de matriz:
onde
,
,
é o vetor coluna
e
é o vetor
.\n
- Calcule o produto:
- Simplifique cada termo:
-
(identidade). -
é o vetor com componentes . -
é o vetor linha de componentes , isto é, a linha de uns . -
. Note que , então .
-
- Substituindo, obtemos
- Observe que
. Assim o elemento do segundo termo é
e o último termo tem elemento
Portanto estes dois termos se cancelam exatamente, deixando
- Agora a chave: em nosso espaço físico de interesse os vetores
e satisfazem soma de componentes nula, isto é e . Então, ao aplicar sobre qualquer vetor com soma de componentes zero, o termo anula-se porque . Logo, restrito ao subespaço de dimensão (somatório zero), tem-se
Analogamente pode-se verificar que
naquele subespaço (o produto dá
, que age como identidade sobre vetores soma-zero).\n
- Conclusão:
é realmente a inversa de quando consideramos a representação em dimensão (o subespaço dos fluxos cuja soma é zero). Portanto
no espaço físico correto.