Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que a classifiquemos quanto a:
- ordem da equação;
- se é EDO ou EDP;
- se é linear ou não-linear;
- se é homogênea ou não-homogênea.
As informações relevantes do enunciado são exatamente os termos que aparecem na equação: os derivativos parciais, , e a função em si, e o fato de que o lado direito é .
Passo 2
Ordem da equação — o que significa “ordem”: a ordem de uma equação diferencial é o maior grau de derivada que aparece na equação.
Na equação dada aparecem as derivadas parciais de segunda ordem e
e também uma derivada de primeira ordem
. O maior entre esses é
.
Logo, a ordem da equação é .
Na equação dada aparecem as derivadas parciais de segunda ordem
Logo, a ordem da equação é
Passo 3
EDO ou EDP — como distinguir: uma EDO (equação diferencial ordinária) envolve derivadas em relação a uma única variável independente; uma EDP (equação diferencial parcial) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
Aqui temos notação de derivadas parciais com respeito a e a
:
e
. Isso indica que a função incógnita depende de pelo menos duas variáveis independentes (por exemplo
).
Portanto, trata-se de uma EDP.
Aqui temos notação de derivadas parciais com respeito a
Portanto, trata-se de uma EDP.
Passo 4
Linearidade — definição prática e verificação: uma equação diferencial (ou operador) é linear em
se todas as ocorrências de
e de suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, somadas e multiplicadas por funções que dependem apenas das variáveis independentes, não de
nem de derivadas de
), e não aparecem termos como
,
,
,
etc.
Uma forma geral de uma equação linear de segunda ordem em duas variáveis é, por exemplo,
Uma forma geral de uma equação linear de segunda ordem em duas variáveis é, por exemplo,
onde os coeficientes
dependem apenas de
, e o lado direito
também depende só de
. Note que não aparece aí nenhuma função não-linear de derivadas de
.
Na nossa equação temos o termo . Esse termo é uma função não-linear da derivada
: não é igual a um coeficiente que dependa só de
multiplicando
; em vez disso é o radical da derivada. Portanto a equação não é linear — ela é não-linear.
Na nossa equação temos o termo
Passo 5
Homogeneidade — definição e cuidado: para equações lineares, costuma-se chamar de homogênea a equação cujo lado direito é zero (isto é,
na forma linear), e não-homogênea quando
. Para equações não-lineares essa terminologia é menos precisa, porque a noção padrão de “homogeneidade” usada em livros de EDO/EDP aplica-se tipicamente a equações lineares.
No problema dado o lado direito é . Não há termo independente de
que dependa apenas de
. Assim, no sentido usual (lado direito igual a zero) a equação é homogênea — porém é importante lembrar que a equação é não-linear, então não se trata de uma “equação linear homogênea”, mas sim de uma EDP não-linear cujo lado direito é zero (ou seja, sem termo de fonte externo).
No problema dado o lado direito é
Passo 6
Resumo final — juntando tudo: a equação possui derivadas de segunda ordem, é uma equação diferencial parcial, contém um termo não-linear
que impede linearidade, e não tem termo independente no lado direito (igual a zero), de modo que pode ser dita homogênea no sentido “lado direito zero”, embora não seja uma homogênea linear.
Resposta
Ordem:
Tipo: EDP
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: homogênea
Tipo: EDP
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: homogênea