Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
u_{x x}+u_{y y}+\sqrt{u_{y}}+u=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
u_{xx}+u_{yy}+\sqrt{u_{y}}+u=0
e pede que a classifiquemos quanto a:
  1. ordem da equação;
  2. se é EDO ou EDP;
  3. se é linear ou não-linear;
  4. se é homogênea ou não-homogênea.
    As informações relevantes do enunciado são exatamente os termos que aparecem na equação: os derivativos parciais u_{xx}, u_{yy}, u_{y} e a função u em si, e o fato de que o lado direito é 0.

Passo 2

Ordem da equação — o que significa “ordem”: a ordem de uma equação diferencial é o maior grau de derivada que aparece na equação.
Na equação dada aparecem as derivadas parciais de segunda ordem \,u_{xx} e \,u_{yy} e também uma derivada de primeira ordem \,u_{y}. O maior entre esses é 2.
Logo, a ordem da equação é 2.

Passo 3

EDO ou EDP — como distinguir: uma EDO (equação diferencial ordinária) envolve derivadas em relação a uma única variável independente; uma EDP (equação diferencial parcial) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
Aqui temos notação de derivadas parciais com respeito a x e a y: \,u_{xx} e \,u_{yy}. Isso indica que a função incógnita depende de pelo menos duas variáveis independentes (por exemplo u(x,y)).
Portanto, trata-se de uma EDP.

Passo 4

Linearidade — definição prática e verificação: uma equação diferencial (ou operador) é linear em u se todas as ocorrências de u e de suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, somadas e multiplicadas por funções que dependem apenas das variáveis independentes, não de u nem de derivadas de u), e não aparecem termos como (u)^2, \sin(u), \sqrt{u_y}, u\,u_x etc.
Uma forma geral de uma equação linear de segunda ordem em duas variáveis é, por exemplo,
a(x,y)u_{xx}+b(x,y)u_{xy}+c(x,y)u_{yy}+d(x,y)u_x+e(x,y)u_y+f(x,y)u=g(x,y),
onde os coeficientes a,b,c,d,e,f dependem apenas de x,y, e o lado direito g(x,y) também depende só de x,y. Note que não aparece aí nenhuma função não-linear de derivadas de u.
Na nossa equação temos o termo \sqrt{u_{y}}. Esse termo é uma função não-linear da derivada \,u_{y}: não é igual a um coeficiente que dependa só de x,y multiplicando \,u_{y}; em vez disso é o radical da derivada. Portanto a equação não é linear — ela é não-linear.

Passo 5

Homogeneidade — definição e cuidado: para equações lineares, costuma-se chamar de homogênea a equação cujo lado direito é zero (isto é, g(x,y)=0 na forma linear), e não-homogênea quando g(x,y)\neq0. Para equações não-lineares essa terminologia é menos precisa, porque a noção padrão de “homogeneidade” usada em livros de EDO/EDP aplica-se tipicamente a equações lineares.
No problema dado o lado direito é 0. Não há termo independente de u que dependa apenas de x,y. Assim, no sentido usual (lado direito igual a zero) a equação é homogênea — porém é importante lembrar que a equação é não-linear, então não se trata de uma “equação linear homogênea”, mas sim de uma EDP não-linear cujo lado direito é zero (ou seja, sem termo de fonte externo).

Passo 6

Resumo final — juntando tudo: a equação possui derivadas de segunda ordem, é uma equação diferencial parcial, contém um termo não-linear \sqrt{u_y} que impede linearidade, e não tem termo independente no lado direito (igual a zero), de modo que pode ser dita homogênea no sentido “lado direito zero”, embora não seja uma homogênea linear.

Resposta

Ordem: 2
Tipo: EDP
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: homogênea

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