20 A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1440^{\circ}. Determine a medida do ângulo central.

Passo 1

O enunciado dá que a soma dos ângulos internos de um polígono regular é \,1440^\circ. O que ele pede é a medida do ângulo central desse polígono. Informações relevantes que temos:
  • soma dos ângulos internos S = 1440^\circ;
  • o polígono é regular (ou seja, todos os lados e todos os ângulos internos são iguais);
  • queremos a medida do ângulo central (o ângulo formado no centro do polígono entre dois raios que vão a vértices consecutivos).

Passo 2

Vamos usar a fórmula que relaciona a soma dos ângulos internos de um polígono ao número de lados n. A fórmula é
S = (n-2)\cdot 180^\circ.
Aqui \,S é a soma dos ângulos internos e \,n é o número de lados (ou vértices) do polígono. Uma forma simples de entender essa fórmula é: qualquer polígono convexo pode ser dividido em (n-2) triângulos, e cada triângulo tem soma de ângulos igual a \,180^\circ. Somando os ângulos desses (n-2) triângulos obtemos a soma dos ângulos internos do polígono.

Passo 3

Substituímos \,S=1440^\circ na fórmula e resolvemos para \,n:
(n-2)\cdot 180^\circ = 1440^\circ.
Dividindo ambos os lados por \,180^\circ,
n-2 = \frac{1440}{180}.
Calcule \dfrac{1440}{180}: como 180\cdot 8 = 1440, temos \dfrac{1440}{180}=8. Portanto
n-2 = 8 \quad\Rightarrow\quad n = 10.
Logo o polígono tem \,10 lados (é um decágono).

Passo 4

Agora precisamos do ângulo central. Em um polígono regular, os vértices estão distribuídos uniformemente em torno do centro, então a volta completa de 360^\circ é dividida em n ângulos centrais iguais. Assim a medida do ângulo central \theta_c é
\theta_c = \frac{360^\circ}{n}.
Explicando de maneira bem concreta: imagine o centro do polígono e desenhe raios do centro a cada vértice; entre dois raios consecutivos fica um ângulo central, e são n desses ângulos somando 360^\circ.

Passo 5

Substituímos n=10 na fórmula do ângulo central:
\theta_c = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ.
A conta é simples porque 10 cabe exatamente 36 vezes em 360.

Passo 6

Resumo rápido para a prova (dica prática): primeiro use \,S=(n-2)180^\circ para achar n quando te dão a soma dos internos; depois use \,\theta_c=360^\circ/n para achar o ângulo central. Exemplos rápidos para fixar: triângulo regular ( n=3) tem \theta_c=120^\circ; quadrado ( n=4) tem \theta_c=90^\circ; nosso caso n=10 tem \theta_c=36^\circ. Vai dar certo — respira, lembra dos passos e resolve devagar.

Resposta

36^\circ

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