20 A soma dos ângulos internos de um polígono regular é
. Determine a medida do ângulo central.
Passo 1
O enunciado dá que a soma dos ângulos internos de um polígono regular é
. O que ele pede é a medida do ângulo central desse polígono. Informações relevantes que temos:
- soma dos ângulos internos
; - o polígono é regular (ou seja, todos os lados e todos os ângulos internos são iguais);
- queremos a medida do ângulo central (o ângulo formado no centro do polígono entre dois raios que vão a vértices consecutivos).
Passo 2
Vamos usar a fórmula que relaciona a soma dos ângulos internos de um polígono ao número de lados
. A fórmula é
Aqui
é a soma dos ângulos internos e
é o número de lados (ou vértices) do polígono. Uma forma simples de entender essa fórmula é: qualquer polígono convexo pode ser dividido em
triângulos, e cada triângulo tem soma de ângulos igual a
. Somando os ângulos desses
triângulos obtemos a soma dos ângulos internos do polígono.
Passo 3
Substituímos
na fórmula e resolvemos para
:
Dividindo ambos os lados por
,
Calcule
: como
, temos
. Portanto
Logo o polígono tem
lados (é um decágono).
Passo 4
Agora precisamos do ângulo central. Em um polígono regular, os vértices estão distribuídos uniformemente em torno do centro, então a volta completa de
é dividida em
ângulos centrais iguais. Assim a medida do ângulo central
é
Explicando de maneira bem concreta: imagine o centro do polígono e desenhe raios do centro a cada vértice; entre dois raios consecutivos fica um ângulo central, e são
desses ângulos somando
.
Passo 5
Substituímos
na fórmula do ângulo central:
A conta é simples porque
cabe exatamente
vezes em
.
Passo 6
Resumo rápido para a prova (dica prática): primeiro use
para achar
quando te dão a soma dos internos; depois use
para achar o ângulo central. Exemplos rápidos para fixar: triângulo regular (
) tem
; quadrado (
) tem
; nosso caso
tem
. Vai dar certo — respira, lembra dos passos e resolve devagar.