21^circ ) Determine a velocidade angular do vetor posição O P, sendo O(0,0) e P(x, y), com x=1-2 t^2 e y=4+t^2, no instante t=1 s.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade angular omega do vetor posição OP de um ponto P(x(t),y(t)) em relação à origem O(0,0). Aqui x(t)=1-2t^2 e y(t)=4+t^2, e queremos omega=dthetadt no instante t=1 s, onde theta(t) é o ângulo que OP faz com o eixo x.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, theta(t)=arctanl(y(t)/x(t)r). Aplicando regra da cadeia e derivada do arco-tangente, obtém-se
omega = dthetadt = 11+l(yxr)^2,ddt!l(yxr) = x,dot y - y,dot xx^2 + y^2,
onde dot x=dx/dt e dot y=dy/dt.

Passo 3

Calcule x, y, dot x e dot y em t=1:
x(1)=1-2cdot1^2 = -1, y(1)=4+1^2 = 5,
dot x(t)=ddt(1-2t^2) = -4t ;Rightarrow; dot x(1)=-4, dot y(t)=ddt(4+t^2)=2t ;Rightarrow; dot y(1)=2

Passo 4

Substituindo em
omega = x,dot y - y,dot xx^2 + y^2
temos em t=1:
omega = (-1)cdot2 ;-; 5cdot(-4)(-1)^2 + 5^2 = -2 + 201 + 25 = 1826 = 913 rad/s

Resposta

omega = 913 rad/s

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