Duas curvas são ortogonais se, em cada ponto de intersecção suas tangentes são perpendiculares. Mostre que a curva x y=3 é ortogonal à curva x^2-y^2=2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as curvas ,xy=3 e ,x^2-y^2=2 são ortogonais, ou seja, que nos pontos de intersecção suas tangentes são perpendiculares. Em geometria analítica, isso equivale a exigir que o produto das inclinações das duas tangentes seja -1. Como ambas as curvas estão dadas de forma implícita, vamos usar derivação implícita para encontrar ,dy/dx em cada caso.

Passo 2

Para a curva ,xy=3, derivamos em relação a ,x:
xdydx+y=0
Isolando ,dy/dx, obtemos
dydx=-yx

Passo 3

Para a curva ,x^2-y^2=2, derivamos em relação a ,x:
2x-2ydydx=0
Daí
dydx=xy

Passo 4

O produto das inclinações das tangentes é
(-yx)cdot(xy)=-1
Como esse produto vale -1, as tangentes são perpendiculares em todo ponto de intersecção, o que prova que as curvas são ortogonais.

Resposta

As curvas ,xy=3 e ,x^2-y^2=2 são ortogonais porque o produto de suas inclinações vale -1.

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