Duas curvas são ortogonais se, em cada ponto de intersecção suas tangentes são perpendiculares. Mostre que a curva
é ortogonal à curva
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as curvas
e
são ortogonais, ou seja, que nos pontos de intersecção suas tangentes são perpendiculares. Em geometria analítica, isso equivale a exigir que o produto das inclinações das duas tangentes seja
. Como ambas as curvas estão dadas de forma implícita, vamos usar derivação implícita para encontrar
em cada caso.
Passo 2
Para a curva
, derivamos em relação a
:
Isolando
, obtemos
Passo 3
Para a curva
, derivamos em relação a
:
Daí
Passo 4
O produto das inclinações das tangentes é
Como esse produto vale
, as tangentes são perpendiculares em todo ponto de intersecção, o que prova que as curvas são ortogonais.
Resposta
As curvas
e
são ortogonais porque o produto de suas inclinações vale
.