Cáfum corpo de massa 1,5 \mathrm{~kg} oscila com movimento harmônico simples (MHS) de acordo com a equação ( 5,0 pontos). \mathrm{X}(\mathrm{t})=(2,0 \mathrm{~m}) \cos [\pi \mathrm{t}+\pi / 4], determine quais são: a) a amplitude em \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s}, a constante elástica, a energia mecânica, o período do movimento e a frequência; b) a velocidade e a aceleração em \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s} ; \mathrm{c} ) Esboce o gráfico deste MHS.

Passo 1

O enunciado dá o movimento harmônico simples de um bloco de massa m=1,5\:\mathrm{kg} preso a uma mola e descreve a posição como
x(t) = (2,0\:\mathrm{m})\cos\bigl(\pi\,t + \tfrac{\pi}{4}\bigr).
O conteúdo aqui é MHS (movimento harmônico simples) num sistema massa-mola. Vamos precisar usar as definições
– amplitude A e velocidade angular \omega em x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
– relação \omega=\sqrt{k/m} para achar a constante elástica k,
– energia mecânica E=\tfrac12 kA^2,
– período T=2\pi/\omega e frequência f=1/T,
– fórmulas de velocidade v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) e aceleração a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi).

Passo 2

Identificamos amplitude e velocidade angular comparando
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)
com
x(t)=(2,0)\cos\bigl(\pi\,t+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Logo
A=2,0\:\mathrm{m}, \quad \omega=\pi\:\mathrm{rad/s}.

Passo 3

A constante elástica k satisfaz
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \;\Longrightarrow\; k = m\,\omega^2.
Substituindo m=1,5\:\mathrm{kg} e \omega=\pi,
k = 1,5\;\pi^2 \approx 1,5 \times 9{,}8696 = 14{,}80\:\mathrm{N/m}.

Passo 4

A energia mecânica total do MHS é
E = \tfrac12\,k\,A^2.
Como A=2,0\:\mathrm{m}, A^2=4{,}0, então
E = \tfrac12 \times 14{,}80 \times 4{,}0 = 29{,}6\:\mathrm{J}.

Passo 5

O período e a frequência são
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2{,}0\:\mathrm{s}, \quad f = \frac{1}{T} = 0{,}50\:\mathrm{Hz}.

Passo 6

A velocidade e a aceleração gerais são
v(t) = -A\,\omega\,\sin(\omega t+\varphi), \quad a(t) = -A\,\omega^2\,\cos(\omega t+\varphi).
Para t=2{,}0\:\mathrm{s} temos \omega t+\varphi = \pi\cdot2 + \tfrac{\pi}{4} = 2\pi + \tfrac{\pi}{4}. Como
\sin\Bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{\sqrt2}{2}, \quad \cos\Bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{\sqrt2}{2},
então
v(2{,}0) = -2{,}0 \times \pi \times \frac{\sqrt2}{2} = -\sqrt2\,\pi \approx -4{,}44\:\mathrm{m/s},
a(2{,}0) = -2{,}0 \times \pi^2 \times \frac{\sqrt2}{2} = -\sqrt2\,\pi^2 \approx -13{,}96\:\mathrm{m/s^2}.

Passo 7

Para esboçar o gráfico de x(t) versus t:
comece em t=0 com x(0)=2\cos(\pi/4)=\sqrt2\approx1{,}41\:\mathrm{m}, depois decai até zero em t=0{,}25\:\mathrm{s}, atinge -2\:\mathrm{m} em t=1\:\mathrm{s}, volta a zero em t=1{,}25\:\mathrm{s} e completa um ciclo em t=2\:\mathrm{s}. A curva é um cosseno deslocado de fase \varphi=\pi/4, amplitude 2\:\mathrm{m} e período 2\:\mathrm{s}.

Resposta

A amplitude é A=2{,}0\:\mathrm{m}.
A constante elástica é k\approx14{,}8\:\mathrm{N/m}.
A energia mecânica é E\approx29{,}6\:\mathrm{J}.
O período é T=2{,}0\:\mathrm{s}.
A frequência é f=0{,}50\:\mathrm{Hz}.
Em t=2{,}0\:\mathrm{s},
v=-4{,}44\:\mathrm{m/s}, \quad a=-13{,}96\:\mathrm{m/s^2}.
O gráfico de x(t) é um cosseno de amplitude 2\:\mathrm{m}, período 2\:\mathrm{s} e fase inicial \pi/4.

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